Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
det \R °x 1
(3)
Представления этих тензоров через компоненты в декартовых координатах
имеют вид
VO-Н дЛ Vr = iT - •
К к das ' кдх* '
S, пт . ."дхк т . .с дак
VrT==1*'*aF
и по (1.9) ^ ^
I = л/ - detVr = - = л/~(41
I V g ' u дх* V G' w
о о
Тензор Vr - обратный VR, VR- обратный Vr
/ О \-1 о
Xr = \YRJ , VR=(Vr)~1, (5)
что сразу же следует из их определения (1)
Vr-VR = R*r,-r*R* = R*R, = E.
Из приведенных соотношений следует
dR = dr • VR = VRTdr, dr = dR-Vr = VrTdR. (6)
Например,
о
dr • VR = dqk rh ¦ r5R^ = dqkRk = dR.
Полезны также представления дифференциалов dqs
dqs=Rs-dR = rs-dr. (7)
Из соотношений
? = (8)
О
следуют формулы, связывающие набла-операторы V, V
V() = VR.V(), V ( ) = Vr • V ( ) (9)
в применении к вектору а и к тензору второго ранга Q. В применении к
вектору имеют место и соотношения
VaT = VaT-V°RT, VaT = VaTVrT. (10)
Следствием (2.12) служат формулы
VR = rfriVtxs = rfrsV^, Vr=R%Vfxs=R*R*V*x,. (Н) Очевидны соотношения
VR = RSR^ = Е, Vr = r*r, = E. (12)
16 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
Понятие градиента места постоянно используется во всем дальнейшем. Другое
наименование, применяемое в зарубежной литературе,- градиент деформации
*).
§ 4. Меры деформации Коши - Грина и Альманзи
Деформацию в сплошной среде принято характеризовать изменением длин и
направлений векторов о о
dr = e)dr| = eds, dR = e]dR] = edS (1)
в точке в? (q1, g2, g3), место которой в о- и ^-конфигурациях задается
вектор-радиусами г и R. По (3.6)
dR • d R - dS2 = dr • VR • V RT • dr - dr • G • dr = ds2e • G • e, (2)
dr • dr = ds2 ¦= dR • Vr • VrT • dR = dR • g • dR = dS2e • g • e. (3)
Здесь введены в рассмотрение тензоры: мера деформации
Коши - Грина G
VR- VRT = G = rsR^RArA= Gskrsrk (4)
и мера деформации Альманзи g
Vr- VrT = g = RVrfcRA = g,AR*R*. (5)
Мера Коши - Грина определена в д-базисе, мера Альманзи - в ^-базисе; их
ковариантные компоненты равны ковариантным компонентам метрического
тензора Е в и соответственно
в v- базисе. Было бы тяжелой ошибкой отождествлять G или g
с Е. Так, переход к контравариантным компонентам этих тензо-
ров осуществляется по общим правилам пересчета от ковариант-ных компонент
в v- ^-базисах
Qsk = gsmgknGmn, gsk = G^Gkngmn, (6)
и это отнюдь не контравариантные компоненты Е.
Определитель произведения тензоров равен произведению их определителей
[см. (1.6.4)]; поэтому, основываясь на (3.4) и определениях (4) и (5),
имеем
detG=|, det? = f, (7)
тогда как det Е = 1. Напомним, что через G и ^ обозначались определители
ковариантных компонент Е [см. (1.1.9), (1.4.14), (2.5)].
*) Наш термин "деформация" в литературе на английском языке передается
словом strain; deformation применяется в нескольких смыслах.
g4] МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ КОШИ - ГРИНА И АЛЬМАНЗИ {7
Тензоры G и g определенно-положительны, это следует из оп-
, fdsy / dsy ределеннои положительности квадратичных форм (^ ) . [^) -
см. (2), (3). Поэтому положительны их главные значения Gk,
о.-, обозначив через еА, гк-главные направления этих тензоров, имеем по
(1.9.14)
0 0 0 0 0 0 G - Gyy ~i~G2e2e ~hGscsc , -)- ^в2в2 -j- gs(r)s(r)3 (3)
/ о о \ оо
\конечно, es = e,s, es = e,J. Теперь, приняв в (2) и (3) t = tk и
соответственно e = eft, получаем
(S)* = 1^G*=1 + 6*' (^)A = VAgft=l+AA = (l + 6A)'1 (9)
- единичный в отсчетной конфигурации отрезок по главному о
направлению ък меры Коши приобретает длину 1 -j- бк в ^-конфигурации,
тогда как единичный в актуальной конфигурации отрезок на главном
направлении ек меры Альманзи имел в отсчетной конфигурации длину 1 + ЛА;
и можно назвать главными относительными удлинениями
х dSk ¦ dsk . dsh - dSk
к~~~1Гк ' * ~ dSk ¦
Далее используются также обозначения
Gk = v%, пй=1 + бА; g*-== G*1 = *• (10)
Очевидно, что •-1 < бк < оо, 0 < vk < оо - крайним значениям
соответствуют исчезновение длины и бесконечная длина стержня. Принимая
теперь в (2) и (3)
р р _____ rm___ rm R/я R/я /1 t\
т lr-l * = ()
иначе говоря, рассматривая единичные отрезки по направлению базисных
векторов, приходим к формулам
(~-\ ~( гт'^'гт т /~ G,nm ( 4?_\ _ ( V G -]/" |
Us/" \ gnm J ~V gmm' Us;*"I ; г с
(12)
содержащим геометрическое истолкование диагональных компонент мер
деформации G и g.
С целью выяснить геометрическое значение недиагональных компонент,
рассмотрим-^^овде"^Ж%в у- и ^-конфигурациях
' ЛЧ
\S3SSO В
ётп G тг.
18 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
векторы dr', dr" и соответственно dR', dR". По (1), (2), (3) dR' = dr' •
VR = е' dS', dR" = VR* ¦ dr" = e" dS",
dR' • dR" = e' • e" dS' dS" = dr' • VR. VR* • dr" = ds' ds" e' • G • e",
о о
причем, конечно, dr' = e'ds', dr" = e"ds". Получаем
о о /о оо 0 N -•/, о о e' 'e"= e' •G 'e" - v e' 'G ' e'e" 'G'e / e'-G-
e" (13)
и аналогично
e' 'e" ~ ' 'e"= (e'' §'ee ' 6 • e") ~1/z e' • g • e". (14)
о о
Направив e', e" вдоль базисных векторов r,., rf и-конфигура-ции и назвав
<pst угол, образуемый этими векторами в актуальной конфигурации, по (12)
имеем
cosq>st= l/ -~= ¦ G ¦ -=r =. (15)
