Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для периодических систем с полностью разделяющимися переменными очень
удобно выбрать функции У (ос) специальным образом. При этом под
периодическими мы подразумеваем такие системы, в которых по каждой
степени свободы либо рс и д? являются периодическими функциями времени
одного периода, либо pi периодически зависит от qt. В первом случае
говорят о колебаниях, а во втором - о вращении. Периоды движения по
каждой степени свободы не обязательно одинаковы. Если они не
находятся
в рациональном отношении, то движение называется квазиперио-
дическимг). Для определения переменных действия У, как функций а
1) Это условие, вообще говоря, излишне и приведено, видимо, только для
упрощения изложения (см., например, [453]).- Прим. перев.
2) В оригинале -conditionally periodic (условно периодическое) - менее
распространенный синоним квазипериодического.- Прим. перев.
36
Глава 1
запишем интеграл (1.2.40), используя для pt выражение (1.2.13а),
Л = (1.2.56)
тде /1( . . . , JN - новые сохраняющиеся импульсы. Обращение
этого выражения дает новую производящую функцию 5 (q, J). Согласно
(1.2.24), сопряженные координаты имеют вид
0, = <в,*-)-р,, (1.2.57)
где со с и Р; - постоянные. Интегрируя 0? по полному периоду колебаний Т,
получаем
t+T
0(= |' dQi = anT. (1.2.58)
t
Но, с другой стороны, из (1.2.136) следует
^-2-59)
uCfi oJ i
Подставляя это выражение в (1.2.58), меняя порядок дифференцирования и
интегрируя по периоду, находим
А0; =-ТГ Ф "ТЛ" й* = 1ГГ$ Pidqi = 2л¦ (! -2-60)1)
dJi J dqi dJi J
Сравнение (1.2.58) с (1.2.60) дает
ю?Г = 2л, (1.2.61)
т. е. постоянные со? есть просто частоты колебаний. Таким образом,
использование переменных действие - угол представляет собой удобный
способ получения частот колебаний, не требующий выяснения деталей
движения. При исследовании движения систем, близких к интегрируемым,
удобно предварительно перейти к переменным действие - угол в
интегрируемой части системы, а уже затем использовать теорию возмущений
или другие методы.
Гармонический осциллятор. Проиллюстрируем достоинства переменных действие
- угол на примере гармонического (линейного) осциллятора, гамильтониан
которого имеет вид
H = G-P-~F ^- = а, (1.2.62)
2 2 v '
где G, F и а - постоянные. Определив р (q, а) и вычислив интеграл
'-тТ (-?--?'¦г*' (1'2кз)
о
1) Выражение (1.2.60) сразу получается из определения (1.2.56) для J
при р = J, q = 0.- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
37
где <7"акс = (2a/F)12, получим
У = a (FG)~1,2. (1.2.64)
Отсюда и из (1.2.55) гамильтониан равен
Я = (FG)il2J (1.2.65)
и не зависит от угловой переменной. Частота колебаний равна
со0 =dHldJ = (УО)12. Подставляя а из (1.2.64) в (1.2.62), полу-
чаем одно из уравнений канонического преобразования
p = p(q, У)=(2#У-#У)1/2, (1.2.66)
где R = (77 G)12. Из (1.2.13а)
S = [ {2RJ - R2q2)U2dq
О
и из (1.2.136) находим второе уравнение
0=Я ] {2RJ - R2q2rV2dq, (1.2.67)
О
которое после интегрирования дает
t7 = (2//.R)1/2sine. (1.2.68а)
С учетом (1.2.66) имеем
/? = (2УЯ)12 cos 0. (1.2.686)
Уравнения (1.2.68) определяют преобразование от переменных действие -
угол к исходным переменным р, q. Это преобразование обычно получается при
помощи производящей функции типа (q, q), которая имеет вид
У1= -Lfl^ctgO. (1.2.69)
Отметим также, что эллипс, определяемый уравнением (1.2.62), можно
канонически преобразовать в круг, изменяя масштаб: р = = л/^Р 'у q =
q'/^s/R- Отсюда, ясно, что в переменных действие - угол (У, 0) движение
представляет собой вращение некоторого вектора постоянной длины У. Это
немедленно приводит к уравнениям преобразования (1.2.68), из которых
видно также, что величина R равна отношению полуосей исходного эллипса.
Ниже мы увидим, что переход к переменным действие - угол особенно
эффективен в случае медленного изменения величин F и G со временем или в
зависимости от координаты по другой степени свободы. В этом случае У
является адиабатическим инвариантом движения, т. е. мало
изменяется даже при значительном изменении со0 и Я (см. также
[265], гл. 2). Для нелинейных колеба-
38
Глава 1
ний преобразование (1.2.68) не приводит к переменным действие- угол. Тем
не менее, как мы увидим в гл. 2, его можно использовать при построении
рядов теории возмущений. Общий же метод введения переменных действие -
угол, развитый в этом параграфе, применим, как будет видно ниже, и к
нелинейному осциллятору.
§ 1.3. Интегрируемые системы
Рассмотрим гамильтонову систему с N степенями свободы. Если уравнение
Гамильтона-Якоби разделяется на N независимых уравнений, по одному на
каждую степень свободы, то гамильтониан и движение системы называются
интегрируемыми (иногда используются термины полностью интегрируемый или
полностью разделяющийся). Постоянные разделения ai называются
изолирующими или глобальными интегралами движения1), поскольку каждый
такой интеграл "отделяет" одну степень свободы. Система с N степенями
свободы интегрируема тогда и только тогда, когда существует N независимых
