Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
резкой границы.
А.6. Квантовые системы
Как упоминалось во введении, появление квантовой механики дало новый
мощный импульс для развития классической теории возмущений [34 ]. С
другой стороны, современные успехи в понимании поведения классических
динамических систем возродили интерес к изучению квантовых систем в
квазиклассическом приближении h -v 0. Особенно важно установить
соответствие между классиче-
Ч См. работу [555].- Прим. перев.
496
Некоторые приложения
скими решениями (фазовые траектории) и квантовыми решениями (волновые
функции). Квантовую формулировку задачи можно получить из классической
4), однако квантовомеханическое решение не следует непосредственно из
классического. Неизвестно какое-либо общее соответствие между обоими
решениями, за исключением полностью интегрируемых систем 2). В последнем
случае движение по каждой из N степеней свободы является независимым как
в классической, так и в квантовой формулировке и правила квази-
классического квантования 3) хорошо известны (см., например, [226, 329]).
Каждая из N переменных действия принимает дискретные значения /=("-]-
а/4) ft, где п и а - целочисленные векторы квантовых чисел и индексов
Маслова соответственно. Квантовые уровни энергии Еп = Н (7г<) могут
совпадать и пересекаться при изменении параметров системы.
Квазиклассическая волновая функция имеет каустики в конфигурационном
пространстве, соответствующие точкам поворота классического движения.
Для близких к интегрируемым классических систем, в которых регулярные и
стохастические траектории сосуществуют в сколь угодно малых масштабах,
квантовые аналоги не ясны. Некоторое понимание достигнуто в отношении
квантования классических систем с полностью стохастическим поведением
(/С-систем). Примерами являются отображение Арнольда [27 ] и бильярд
Синая, в частности "стадион", образованный двумя параллельными прямыми,
замкнутыми полуокружностями [59, 287 I. Берри [24,25] и Заславский [440 ]
предположили, что уровни энергии стохастической системы должны
отталкиваться, так что распределение расстояний между ними имеет максимум
при некотором конечном значении, а не в нуле, как для интегрируемой
системы4). Отталкивание наблюдалось в численном моделировании для
бильярда Синая и стадиона [27, 28, 59, 80, 287 ] и иногда принимается в
качестве определения квантовой стохастичности.
Ситуация с близкими к интегрируемым системами не так ясна. Считается, что
классическая иерархия резонансов с их стохастическими слоями и
инвариантными торами "замазывается" при любом конечном ft. Квантовое
фазовое пространство оказывается,
4) По-видимому, имеется в виду переход от классических величин к
квантовым операторам.- Прим. ред.
2) Это не совсем так, см., например, работу [556].- Прим. ред.
3) В оригинале редко употребляемый термин - квантование по Эйнштейну-
Бриллюэну-Келлеру [329]; общепринятое название - правило квантования
Бора-Зоммерфельда (см., например, книгу [557]).- Прим. ред.
4) В указанных работах Берри этот вопрос не рассматривался; по-видимому,
имеется в виду статья [28]. В работе Заславского [440] (см. также работу
[442]) сделана попытка связать хорошо известное явление отталкивания
уровней сложных атомов и ядер (см., например, книгу [558]) с
динамическими характеристиками системы (обсуждение см. в работе [28]).-
Прим. ред.
Теория бифуркаций в гамильтоновых системах
497
таким образом, "крупноструктурным", так что можно пренебречь почти всеми
классическими областями (регулярными и стохастическими), размер которых
много меньше h [329]. При этом квантовое поведение может быть регулярным,
даже если соответствующая классическая система стохастична. Это
подтверждается численными экспериментами Казати и др. [56] для квантового
стандартного отображения и Маркуса [294 ] для квантовой задачи Хенона и
Хейлеса. Последний четко показал, что нестохастические
квантовомеханические состояния имеют место при таких значениях энергии,
для которых классическое движение является существенно стохастическим; он
же дал обзор результатов применения обсуждаемых методов в молекулярной
динамике. Еще одним следствием крупноструктурности является то, что при
конечном h инвариантные торы оказываются неизолирующими. Отт и др. [325]
продемонстрировали дифракцию волновой функции из классически регулярной
области в стохастическую. Другие исследования обсуждаемой проблемы
представлены в работах Бермана и Заславского [21 ], Чирикова и др. [77],
Шепелянского [370], а также в трудах конференции [58]. Обзор этого
направления дан Заславским [442] х).
Дополнение Б
ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ В ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ
Для гамильтонова отображения [В = 1 в (7.3.2) ]
xn+i + хп-1 - ЧСхп + 2х^ (Б.1)
соотношения (7.3.5) - (7.3.17) остаются справедливыми. Однако из
(7.3.10а) следует
и, подставляя С' = С = СД в (7.3.106), находим точку накопления - 2Соо
4Соо ~г 7 = Соо,
или
с" = (3-У 65)/4"-1.2656. (Б2)
Это близко к найденной численно величине2) - 1,2663 и отличается от
