Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
т = т (р, q, t).
Если нормировать т так, чтобы выполнялось условие
J т П dpidqi = 1, (1.2.27)
где интегрирование распространяется на все фазовое пространство1), то из
уравнения непрерывности
Зт , х
dt JmJ \ dpi
(rpi)+^r( Т<Й))=0 (1.2.28)
находим
Зт ( " дх , д pi дх . д Pi \ Л
dt +j^\Pi~d^ + X~d^T Ч1~д^"гХ~д^~ J (1.2.29)
Согласно уравнениям Гамильтона (1.2.6), второй и четвертый члены суммы
сокращаются, и мы получаем уравнение
^ ¦+ ) +-= 0, (1.2.30)
dpt dqi j dt
выражающее несжимаемость потока в фазовом пространстве. Этот результат
известен как теорема Лиувилля, которая оказывается мощным инструментом
анализа гамильтоновой динамики (подробное обсуждение и примеры см. в
работе [265 ]).
Интегральные инварианты. Благодаря вышеперечисленным свойствам анализ
движения в'фазовом пространстве приводит к значительным упрощениям при
исследовании динамических задач. В частности, из (1.2.30) немедленно
следует, что 2А'-мерный интеграл
|П dpidqt, (1.2.31)
вычисленный в определенный момент времени t, является инвариантом
движения. Иерархия таких инвариантов разной размер-
х) Такая нормировка обычно невыполнима из-за неограниченности фазового
пространства и несущественна для дальнейшего.- Прим. ред.
28
Глава 1
ности впервые изучалась Пуанкаре [337]. Они были названы им интегральными
инвариантами. Общий вывод таких инвариантов дается в работе [43011).
Интегральные инварианты имеют фундаментальное значение для теории
гамильтоновых систем и могут быть приняты в качестве ее основы [13]. Мы
рассмотрим первый член этой иерархии [для которой (1.2.31) является N-м и
последним членом]:
где интеграл берется в определенный момент времени по некоторой двумерной
поверхности в фазовом пространстве.
Применив теорему Стокса к (1.2.32), получим инвариант
где интегрирование производится теперь по замкнутой в фазовом
пространстве кривой при фиксированном значении t. Величина
(1.2.33) называется относительным интегральным инвариантом системы. В
общем случае применение теоремы Стокса понижает размерность области
интегрирования на единицу и преобразует интегральный инвариант, взятый по
произвольному гиперобъему, в относительный инвариант, взятый по замкнутой
гиперповерхности. Относительные интегральные инварианты особенно важны
для колебательных систем (см. ниже).
Расширенное фазовое пространство. Рассмотрим теперь гамильтониан Н, явно
зависящий от времени. Вариационный принцип
(1.2.8), из которого получаются уравнения Гамильтона, справедлив при
интегрировании по любому параметру, не зависящему от вариации. Обозначим
такой параметр через ? и перепишем (1.2.8) в виде
где -Hut можно рассматривать как дополнительные импульс
(1.2.32)
(1.2.33)
(1.2.34)
Положив
Pi = Pi i = l, N,
Pn+i= Н, <7,\+1 = С
получим новую форму вариационного уравнения
(1.2.35)
В См. также [13].- Прим. перев.
Общий обзор и основные представления
29
и координату в некотором новом расширенном фазовом пространстве
размерности (2N + 2). Поток параметризуется теперь новым "временем" ?.
Новый гамильтониан Я для расширенного набора канонических переменных (р,
-Я, q, t) можно получить с помощью производящей функции
Используя (1.2.1 Зв), находим Я (р, q, t) = Я (р, q, t) - Я, и
канонические уравнения принимают вид
Новый гамильтониан, определяющий поток в расширенном фазовом
пространстве, не зависит явно от "времени" ?. Кроме того уравнения
(1.2.37) с i = N т 1 дают: t (?) = ? и Я = const. Таким образом, движение
системы с гамильтонианом, зависящим от времени, эквивалентно движению с
дополнительной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от
времени1).
Справедливо и обратное. Рассмотрим независящий от времени гамильтониан Я
для системы с N степенями свободы в 2Я-мерном фазовом пространстве.
Выберем любую из обобщенных координат в качестве нового "времени" ?.
Тогда канонически сопряженный ей импульс представляет новый гамильтониан
Я, зависящий от "времени" и описывающий движение системы с (Я-1)
степенями свободы в сокращенном фазовом пространстве размерности (2Я-2).
Пусть, например,
и разрешим (1.2.38) относительно pN ¦= pN (р, q, qN). Выбирая Я - - рЛ, и
? - qs, мы получаем уравнения Гамильтона (1.2.37) в сокращенном фазовом
пространстве (р, q), где новый гамильтониан оказывается явной функцией
"времени" ? (подробности см. в работе [4301, § 141).
Таким образом, теория, развитая для независящего от времени гамильтониана
с Я степенями свободы, применима также и к гамильтониану, зависящему от
времени, но с Я-1 степенями свободы. В частности, независящий от времени
гамильтониан с двумя сте-
Ч Эти рассуждения несколько формальны. Более существенно то, что движение
по дополнительной координате задано, например, t (t) = ?. В этом состоит
также отличие от рассматриваемого далее движения в сокращенном фазовом
пространстве.- Прим. ред.
N
Го - 2 PiQi 4- Pn+i^-
(1.2.36)
дН dqi дН
(1.2.37)
dqi ' dpi
H{P> <7) = Я0.
(1.2.38)
Положим
Pi = Pi, qi = qi, i = 1, Я- 1
