Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
позволяющее распространить эргодическую теорию на диссипативные системы,
было доказано для широкого класса динамических систем Боголюбовым и
Крыловым (см. [447], т. ), с. 411). Инвариантная мера единственна, если
существует только один аттрактор (одна "эргодическая компонента" движения
(ср. п. 5.2а), или "строгая эргодичность" i486], с. 43). Равновесным
распределением ниже в основном тексте называется инвариантное
распределение, сосредоточенное на одном аттракторе. Для него временные и
фазовые средние совпадают в пределах области притяжения этого
аттрактора.- Прим. ред.
Диссипативные системы
445
Аналитически это функциональное уравнение решается в редких случаях.
Однако его можно решить численно по следующей схеме:
а) выбираем некоторое начальное Pi = Рг (х);
б) вычисляем Pi+i по (7.2.55) с Р{ в правой части;
в) повторяем "б" до получения достаточной сходимости.
Этот метод иллюстрируется на рис. 7.19 [368] для отображения
(7.2.5) с и = 4. Показаны первые три итерации Р,- с начальным
распределением Рг (х) = 1. В данном случае имеет место быстрая сходимость
к инвариантному распределению
Р (х) = - [х(1 - х)]
Л
-1 2
Рис. 7.18. Построение инвариантного распределения Р (х).
"Число траекторий" на отрезке dx равно числу траекторий, пришедших из
"прообразов" dx j и dx 2-
которое будет получено аналитически ниже. Для р = 3,8 и ц = = 3,825
описанный метод дает инвариантные распределения, показанные на рис. 7.20.
В этих случаях движение, по-видимому, также является хаотическим в
некотором интервале по х. Знание инвариантного распределения позволяет
заменять усреднение по времени усреднением по х. Например, можно
вычислять показатель Ляпунова по формуле:
а = (j dxP (х) In ^
dx
При обратимой замене переменной х = g распределение получается из условия
Р (х) dx = Р (х) dx.
(7.2.56)
(х) новое инвариантное
(7.2.57)
446
Глава 7
О 1
Рис. 7.19. Численное определение инвариантного распределения Р (х) для
отображения (7.2.5) с р = 4 (по данным работы [368]).
Показано начальное распределение (1) и его первые три итерации.
.х X
Рис. 7.20. Численно найденное инвариантное распределение Р (х) для двух
значений р отображения (7.2.5) (по данным работы [368]).
Видны разрывы функции^/5 (дг) н обратные бифуркации при увеличении |Я.
Диссипативные системы
447
Треугольное отображение *). В качестве примера рассмотрим простое
"треугольное" отображение (рис. 7.21). Оно имеет единственный максимум f
(1/2) ¦= а, но не относится к квадратичным. Производная /' равна + 2а в
левой части и - 2а в правой части отображения. Ясно, что движение
является хаотическим для а> 1/2, поскольку все траектории расходятся
экспоненциально (см. рис. 7.16). Инвариантное распределение находится из
(7.2.55):
P(x) = -\p( - ) + p(l - -) .
2а L \ 2а ) \ 2а j
Г
Рис. 7.21. Симметричное треугольное отображение.
Для а = 1 имеется очевидное решение Р (х) = 1. Показатель Ляпунова равен
(7.2.56):
1
а= I dx 1п2 = In 2. о
Поскольку а>0, движение является хаотическим. Рассмотрим теперь
отображение
f(x) = 4x(l~x). (7.2.58)
Введем новую переменную
х- j arc sin( д/ х), (7.2.59)
1) В оригинале - lent map (отображение, похожее на палатку).-Прим.
перев.
448
Глава 7
тогда (7.2.58) перейдет в треугольное отображение с а = 1:
Из (7.2.57) с Р (х) = I получим инвариантное распределение для
отображения (7.2.58):
которое можно сравнить с численными данными на рис. 7.19. Показатель
Ляпунова для отображения (7.2.58) равен
Отметим, что отображения (7.2.58) и (7.2.60) имеют одинаковую величину о,
поскольку она инвариантна относительно преобразования переменной.
Соответственно любое обратимое преобразование квадратичного отображения
(7.2.4) сохраняет функцию о (С), показанную на рис. 7.17.
Для отображения (7.2.58) [и "зеркального" квадратичного отображения
(7.2.4) с С = - 1 ] точное решение имеет вид
где ф0 определяется начальным условием х0. Статистические свойства
отображения (7.2.58) исследовались в работе [416]. Было показано также,
что движение является эргодическим и перемешивающим с экспоненциальной
расходимостью близких траекторий х).
Обратные бифуркации хаотического движения. При изменении параметра С
квадратичного отображения (7.2.4) от С0 = 1/2 до Сх =
- 0,78497 . . . возникает "дерево" бифуркаций, показанное на рис. 7.14.
Какова природа движения для СсО"?
Эта область исследовалась Лоренцем [284 ], Колле и Экманом [82] и
Хеллеманом [182], ее качественная структура представлена на рис. 7.22.
Точки показывают хп в стационарном режиме (1 ООО<не4000) для разных
значений параметра С. Ясно видны полосы с хаотическим движением (при
С<гСх). При уменьшении С от значения С = Сж эти полосы сливаются и
испытывают обратные бифуркации в точках С - С*п. Видны также бифуркации
предель-
2х, 0<х<-,
2
?(*)
(7.2,60)
2-2х, - <х<1.
dx
[х(1-х)Г:12,
Р(х)
dx л
(7.2.61)
In | 4(1 - 2л:) | [ж (1 - х)]1 2
dx = In 2.
о
2 2
cos(2"+1(p0) = sin2(2n(po), (7.2.62)
О Это вытекает, в частности, из свойств более простого отображения гр"+1
