Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
бифуркации.
Темные кружки показывают устойчивую траекторию: светлые- неустойчивую: а)
С~> ДД
б) С Пунктирная прямая f:, - х.
Поскольку вблизи неподвижных точек отображение /3 локально1 квадратично,
то можно ожидать, что при дальнейшем уменьшении С будут возникать
бифуркации удвоения с периодами 3, 6, 12, 24 ... . Их точку сгущения С((r)
можно найти с помощью описанной выше ренормализации или же путем
численного моделирования. В последнем случае СУ " - 0,92475. Существуют и
зеркальные бифуркации удвоения при С = 1-С.
Точно так же с помощью отображений Д, Д, Д, . . . можно найти устойчивые
траектории с основным периодом п 4, 5, 6, ... . Для каждой из этих
траекторий существует своя последовательность, бифуркаций удвоения с
начальной точкой С(0п} и точкой сгущения Порядок, в котором появляются
основные периоды при уменьшении параметра, является универсальным для
всех отображений с одним квадратичным максимумом. Например, первые шесть
пе-
442
Глава 7
риодов упорядочены при уменьшении С следующим образом: 1, 6, 5, 3, 5, 6,
4, 6, 5, 6. Можно также найти и их общее число [296]. Например, имеются
202 основные траектории с периодом до 11 включительно; их упорядочение по
параметру исследовано Метро-полисом и др. [300]. Недавно Гейзал и
Нирветберг [151 ] показали, что для всех этих траекторий ренормализация
имеет универсальную структуру.
7.2в. Хаотическое движение
Предельные циклы занимают конечную часть интервала по параметру. Для
остальных значений параметра движение неустойчиво и плотно покрывает
конечный интервал по х при почти всех началь-
/
Рис. 7.16. Показатель Ляпунова равен среднему значению In \df/dx\ вдоль
траектории.
ных х0, а близкие траектории расходятся экспоненциально. Такое движение
получило название хаотического (см., например, [261, 297]). При его
исследовании можно использовать некоторые методы, описанные в гл. 5 для
гамильтоновых отображений. Особое значение имеет показатель Ляпунова о и
равновесное инвариантное распределение Р (х).
Показатель Ляпунова. Для одномерного отображения имеется единственный
показатель Ляпунова [см. (5.2.8)]:
о (х0) = Нт -
N-кх, N
N
I
In
df
dxi
(7.2.46)
Диссипативные системы
443
Значение о положительно (см. рис. 7.16), если среднее по траектории от
|/'| больше 1. За исключением множества меры нуль, о не зависит от выбора
начального значения х0. При а>0 движение хаотическое, а при ас0
существует предельный цикл. Зависимость о от параметра С является обычно
сложной. На рис. 7.17 представ-
с
Рис. 7.17. Зависимость показателя Ляпунова сг от параметра С для
квадратичного отображения (поданным работы [368]).
Для а >0 движение хаотическое, а для а < 0 - периодическое. Сглаженная
кривая построена по 300 точкам с равномерным тагом по С.
лен пример такой зависимости [368 ], полученной численным путем для
квадратичного отображения. Значения а определялись по формуле (7.2.46) с
N = 105 (число итераций) для каждой из 300 равномерно расположенных по С
точек. Ясно видны относительноширокие интервалы по С с а<0, которые
отвечают периодическим движениям с небольшим периодом. Для движения с
большим периодом соответствующие им интервалы по С становятся меньше
расстояния между точками на рисунке и потому не видны. Хьюбер-ман и
Рудник [204 ] показали, что вблизи критического значения Сх для
хаотического движения а сс | С-Сх Р1, где т) = In 2/ln 8 да да 0,4498.
Показатель Ляпунова не зависит от (обратимой) замены переменных [323].
Действительно, пусть
x = g(x),
где g' 0. Тогда исходное отображение
Хп +i ~ f {%п)
(7.2.47)
(7.2.48)
444
Глава 7
перейдет в отображение с показателем Ляпунова
о= lim-
N-*oо
Согласно (7.2.47), получим
dxi+1
хп+1 = / (х")
N
I
In
dx.
<¦+1
dx,-
i=i
(dg/dxi+l) dxt
+i
dx.
(dg!dXi) dx(
(7.2.49)
(7.2.50)
(7.2.51)
откуда о = a.
Инвариантные распределения. Будем говорить, что Р (х) является
инвариантным распределением для отображения Т, если
Р (х) = ТР (х). (7.2.52)
Другие названия - инвариантная мера J) или распределение вероятности.
Примем, далее, что Р (х) нормировано на единицу:
$P(x)dx=l. (7.2.53)
В общем случае отображение имеет много инвариантных распределений. Из них
выделенным является равновесное распределение, которое получается
итерированием отображения и для которого среднее по времени равно
фазовому среднему. Для предельного цикла периода п распределение
дискретно и представляет собой сумму 8-функций в неподвижных точках с
коэффициентом 1/п. Для хаотического движения распределение Р (х) может
быть разрывным, однако в типичном случае имеются конечные интервалы по х
с ненулевым Р (х).
Численно Р (х) можно получить из (7.2.52). Для отображения с одним
максимумом в силу сохранения "числа траекторий" имеем
Р (х) dx - Р (хх) dxj -f Р (x2) dx2, (7.2.54)
где точки хъ х2- прообразы точки х (рис. 7.18). Записывая dxfdx± = [ df
dx (V] и т. д., получаем
Р(Хj) Р (х2)
Р(Х):
I df/dx |
| df/dx |
(7.2.55)
*) Существование инвариантной меры (сосредоточенной на аттракторе),
