Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 151

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 145 146 147 148 149 150 < 151 > 152 153 154 155 156 157 .. 942 >> Следующая

*2 = /№)). (7.2.16)
Это соответствует пересечению кривой
h (*) = /(/=(*)) (.7.2.17)
с прямой f = х, как показано на рис. 7.11, а и б для С> - 1/2 и С с - 1/2
соответственно. Если С> - 1/2, то оба пересечения соответствуют
неподвижным точкам х1г = 1/2-С и х10 = 0, ко-
Диссипативные системы
431
торые, очевидно, удовлетворяют и (7.2.16). В этом случае наклон /2 (х) в
нуле меньше единицы, так как
а | 'к1 |< 1 для С> - 1/2. Если же параметр С становится меньше - 1/2, то
наклон увеличивается и рождается пара неподвижных точек отображения /2
(или периодических точек отображения /,
/; А
Рис. 7.11. Возникновение двух неподвижных точек х2 - с периодом 2 для
квадратичного отображения.
В (*) =-- f (f (х)): а) С > - 1,2; б) С < - 1/2.
рис. 7.11, б). Они удовлетворяют условиям
*2+ = /(*2-) = /2(*2+)> (7.2.18а)
x2_ = f (х2+) = /2(х2_). (7.2.186)
Позже мы получим явные выражения для х2+ и х2_ как функций параметра С.
Устойчивость х2± можно исследовать, как обычно, с помощью
замены х2<п = х2+ + Дх2," и линеаризации отображения. Для
точки х2_ находим
где
v=/;(*2-)=f (*2_)г ы- (7-2-19)
Аналогично для х2+:
А2+ = Г(х2+)Г(х2Д = А2_. (7.2.20)
Видно, что наклоны (собственные значения) одинаковы для обеих точек. Как
отмечено в п. 3.3а, для канонических отображений
432
Глава 7
это свойство является общим для неподвижных точек любого периода.
Из рис. 7.11, б следует, что если значение С чуть меньше С1 = = - 1/2, то
| к2 (х2~) I = I A-г (х2+) |< 1- Таким образом, как только неподвижная
точка периода 1 становится неустойчивой, появляется пара устойчивых
неподвижных точек с удвоенным периодом. Это явление иллюстрируется на
рис. 7.12, где показана
V
Рис. 7.12. Положение неподвижных точек х10, х1г, х2+ и х2_ в зависимости
от С.
Устойчивые неподвижные точки представлены сплошными линиями, неустойчивые
- пунктирными. Показан также экстремум f при х* - - С/2. А - бифуркация
удвоения; А' - зеркальная бифуркация удвоения.
зависимость координат неподвижных точек от параметра С. Сплошная линия
обозначает устойчивость точки, а штриховая - неустойчивость. Рождение
пары устойчивых точек удвоенного периода при С<- 1/2 является примером
бифуркации удвоения (см. § 7.1). На рис. 7.2, в показана также зеркальная
бифуркация удвоения, соответствующая зеркальному отображению (7.2.7).
При дальнейшем уменьшении параметра С обе неподвижные точки периода 2
становятся неустойчивыми. Поскольку в их окрестности отображение /2 (х)
также квадратично, следует ожидать аналогичной бифуркации, при которой
возникают четыре неподвижные точки периода 4 и т. д. Означает ли это, что
при любом значении параметра имеется либо устойчивое решение, либо
(устойчивая) бифуркация? Оказывается, что нет. Последовательность
бифуркаций удвоения периода кончается, достигая бесконечного периода при
конечном значении параметра С = С*,. За этим значением лежат области
хаоса.
Диссипативные системы
433
Метод ренормализации. Для более глубокого понимания явления
последовательных бифуркаций рассмотрим ренормализацию отображения с одним
максимумом при переходе от одной бифуркации к следующей. Строгая теория
ренормализации 183, 122], применимая к любым отображениям с одним
максимумом, основана на решении некоторых функциональных уравнений.
Соответствующие математические методы сложны и выходят за рамки этой
монографии. Вместо этого, следуя Хеллеману [180-182], мы используем более
простой, хотя и менее общий, метод локальной аппроксимации отображения с
одним квадратичным максимумом. Это позволяет построить приближенную
теорию ренормализации на основе алгебраических, а не функциональных
уравнений. Для квадратичного отображения (7.2.4), как мы видели выше,
устойчивая неподвижная точка х10 периода 1 возникает с уменьшением С при
С = = С0 = 1/2, а устойчивые точки периода 2 - при С1 = - 1/2. Последние
получаются из (7.2.18):
х2± = а±Ь, (7.2.21а)
где
2а=-1/2 -С, (7.2.216)
4&2=^C+_i_^C_ -J-j, b>0. (7.2.21b)
Подставляя в (7.2.4), получаем
где
х = х2± + Дх
Axn+l = dAXn + 2Ax2n,
Axn+2 = eAxn+l + 2Axl+l,
d = 2C + 4x2+, (7.2.22)
е = 2СД-4х2_, (7.2.23)
и начальные условия выбираются таким образом, чтобы при четных п величина
Ах была близка к х2+, а при нечетных - к х2_. Исключая Ахл+1 и удерживая
члены по Ах до квадратичных включительно, получаем для четных п
Ахл+2 = deAxn -f 2 (е -f- d2) Ах;р (7.2.24)
Путем изменения масштаба
х' = аАх (7.2.25)
приводим (7.2.24) к виду
<+2 = 2С'< + 2(х')2, (7.2.26)
434
Глава 7
где
С' = de/2 = -2 С2 + 2С + 2, (7.2.27)
a = e+d2= 1662-126, (7.2.28)
а 6 определяется согласно (7.2.21 в). Так как (7.2.26) имеет тот же самый
вид, что и исходное отображение (7.2.4), его неподвижные точки испытывают
бифуркацию удвоения периода при С' = - 1 2. С учетом (7.2.27) это
значение соответствует
С = С2 = да - 0,72474,
2
при котором возникают неподвижные точки периода 4. Из (7.2.21)
следует, что х2+ да 0,466 и х2_ да - 0,241 при С = С2.
Отметим,
Предыдущая << 1 .. 145 146 147 148 149 150 < 151 > 152 153 154 155 156 157 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed