Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
по времени от произвольной функции % = ¦/ (q, р, t)
в виде
^ V1 /_ JJL г= [у н\ j- - - (1.2.21)
dt \ dqi dpi dpi dqi / ' dt " dt
i
При отсутствии явной зависимости от времени д% dt = 0. Если к тому же и
скобки Пуассона равны нулю, то говорят, что функция х коммутирует с
гамильтонианом и является интегралом движения. Ясно, что если
гамильтониан не зависит от времени явно, то и он является интегралом.
Такие гамильтонианы называются автономными. Выберем в качестве функции %
один из импульсов р,-и пусть он не является явной функцией времени t.
Если при этом гамильтониан не зависит от сопряженной координаты (т. е.
Общий обзор и основные представления
25
дН/dqi = 0), то из (1.2.21) вытекает, что dpi'dt = 0 и, следовательно, pi
является интегралом движения
р{ = ОС; = const, (1.2.22)
а
qt = = со ,¦ = const. (1.2.23)
dai
Интегрируя (1.2.23), получаем решение в виде
?i = <0i* + p,. (1.2.24)
Если можно найти такое каноническое преобразование, что все новые
импульсы оказываются постоянными, то решение в новых канонических
переменных описывается соотношениями (1.2.22)
и (1.2.24). Обратное преобразование в этом случае дает полное решение в
исходных переменных. Производящей функцией такого преобразования служит
решение уравнения Гамильтона-Якоби
(1.2.15).
Другой метод интегрирования уравнений движения связан с использованием
производящей функции w (р, q, s), задающей каноническое преобразование
(от старых переменных р, q к новым переменным р, q) в виде уравнений
Гамильтона:
= _d?L = _*L> 25)
ds dqi ds dpt
где s- произвольный параметр. При этом связь новых и старых переменных
дается соотношениями
P = P(s), q = q(s). (1.2.26)
Функция w называется производящей функцией Ли и зависит только от старых
переменных. Использование такой функции упрощает вычисление высших
порядков теории возмущений. Мы обсудим этот метод в § 2.5.
В заключение заметим, что успех метода канонических преобразований
определяется разумным выбором преобразования. Сами по себе эти
преобразования не приводят к новой физике, но могут помочь при анализе
или физической интерпретации того или иного движения, свойства которого
остаются, однако, неизменными как в старых, так и в новых переменных.
* 1.26. Движение в фазовом пространстве
Рассмотрим уравнения Гамильтона (1.2.6) в общем случае N степеней
свободы, когда индекс i пробегает значения от 1 до N.
Решение уравнений (1.2.6) содержит 2N постоянных, соответствующих
начальным значениям координат и импульсов. Они однозначно определяют
эволюцию системы, которую можно представ-
26
Глава 1
лять себе как движение точки в 2/V-MepHOM пространстве. Предположим, что
мы решили уравнения (1.2.6) и нашли зависимость р и q от времени. Тогда
мы можем проследить траекторию движения в 2IV-мерном пространстве с
координатами р и q от некоторого момента времени tu соответствующего
начальным значениям рх и qlt до более позднего момента to. Такое
объединенное пространство (р, q) называется фазовым пространством
системы. Примеры трех фазовых траекторий показаны на рис. 1.1, где
фазовое пространство представлено в двух измерениях, так что абсцисса
характеризует N координат q, а ордината - N импульсов р. Рассмотрим три
важных свойства фазового пространства.
Рис. 1.1. Траектории в фазовом пространстве.
1. В любой заданный момент времени траектории в фазовом пространстве не
пересекаются. Это очевидно из того факта, что начальные условия
однозначно определяют последующее движение. Поэтому если бы две
траектории совпали, т. е. в какой-то момент времени их значения р и q
оказались бы одинаковыми, то и последующее их движение было бы
одинаковым. Если гамильтониан не зависит от времени, то траектории в
фазовом пространстве также не зависят от времени и, следовательно, вообще
не могут пересекаться. Очевидно, что в расширенном фазовом пространстве с
добавочной временной координатой траектории не будут пересекаться, даже
если гамильтониан периодически зависит от времени1).
2. Любая граница Cj в фазовом пространстве, охватывающая некоторое
множество начальных условий в момент времени tlf трансформируется к
моменту времени t2 в границу С2, охватывающую траектории того же
множества. Это свойство вы-
*) Периодическая зависимость здесь несущественна и упомянута, очевидно,
только для того, чтобы расширенное фазовое пространство было компактным
(ограниченным).- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
27
текает непосредственно из предыдущего, поскольку любая траектория в
момент пересечения границы совпадает с одной из граничных траекторий, а
значит, и движется вместе с ней. Отсюда можно получить ограничения на
движение большой группы траекторий, определяя движение гораздо более
узкого класса траекторий, принадлежащих границе.
3. Рассмотрим некоторый ансамбль начальных условий, каждое из которых
представляет возможное состояние системы. Представим вероятность
ансамбля, или его плотность распределения в фазовом пространстве, в виде
