Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
отображений и трехмерных потоков. Для двумерных отображений, у которых
оуХ) >оу -f а2, (7.1.19) сводится к
1------------------------------(7.1.20)
02
Для трехмерных потоков с оу>-0;>сгз, а2 = 0 *) и оу + <у3<0 получим
d = 2------------------------------(7.1.21)
Из
Для непосредственного численного определения d, согласно (7.1.17), все
пространство делится на ячейки со стороной 6. Затем отображение
итерируется до тех пор, пока не закончится переходной процесс, после
которого движение происходит на аттракторе. При последующих итерациях
помечаются те ячейки, в которые попадает траектория. После достаточно
большого количества итераций число таких ячеек стремится к М (е). Из
(7.1.17) следует, что зависимость In М от In е является линейной.
Значение d можно определить с помощью подгонки численных данных на эту
прямую.
В табл. 7.1, взятой из работы Рассела и др. [356], сравниваются 2)
значения d, полученные описанным прямым методом
В Напомним, что для потока один из показателей всегда равен нулю.
2) Фрактальная размерность, которую использовали Каплан и Йорке в своей
гипотезе, является информационной размерностью. Было показано, что она
ограничена сверху емкостью (7.1.17). В то же время Рассел и др. [356]
численно определяли емкость, которая, очевидно, очень близка к
информационной размерности по данным табл. 7.1 (подробности см. в работе
Фармера [120]).
Диссипативные системы
425
и согласно (7.1.19), для трех разных двумерных отображений и трехмерного
потока. Были выбраны отображения Хенона (7.1.14), (необратимое)
отображение Каплана и Йорке:
Xj+1 - 2 xj, mod 1,
(7.1.22)
У i +i - + cos AnXj
Таблица 7.1. Вычисление фрактальной размерности1)
Модель По показателям Ляпунова (7.1.19) Прямое вычисление (7.1.17)
Отображение Хенона а= 1,2; 6=0,3 1,200±0,001 1,202+0,003
Отображение Хенона а=1,4; 6=0,3 1,264+0,002 1,261 ±0,003
Отображение Каплана- Йорке а=0,2 1,4306766 1,4316±0,0016
Отображение Заславского Г=3,0; е=0,3 v=400/3 1,387+0,001 1,380+0,007
Поток 2,317+0,001 2,318+0,002
1) По данным работы [356],
и отображение Заславского:
Xj+1 = Xj + v (1 + fi//y-) -j- 6vfi cos 2nXj, mod 1,
(7.1.23)
t/i+i = exp (- Г) (/// + e cos 2nxj).
Для отображений Хенона и Заславского непосредственно вычислялся только
показатель Ляпунова alt а сг2 определялось из известной скорости сжатия
фазового объема (7.1.10):
Oi + o2 = ln| detM |, (7.1.24)
гдебе]:М равен-Ьдля отображения Хенона и е~т - для отображения
Заславского. В случае отображения Каплана и Йорке = = In 2 и сг2 = а- И
наконец, для потока ох + о3 находится аналитически, а ох - численно. Во
всех случаях наблюдается прекрасное согласие между (7.1.17) и (7.1.19).
Использование гипотезы (7.1.19) гораздо проще, чем прямое вычисление по
(7.1.17), однако эта гипотеза пока не доказана.
Другие способы определения фрактальной размерности обсуждались в работах
Паккарда и др. [326], Фрёлинга и др. [138] и Фармера [120].
426
Глава 7
§ 7.2. Одномерные необратимые отображения 7.2а. Основные свойства
Рассмотрим свойства одномерных отображений вида
Xn+1 = f(xn, С), (7.2.1)
где С - некоторый параметр. Как мы уже видели, к таким отображениям
сводятся более сложные диссипативные системы 1). Они возникают также и
как самостоятельные простые модели некоторых систем. Например, переменная
хп может описывать популя-
рно. 7.8. Типичный пример одномерного необратимого отображения.
цию какого-то вида в п-й год, а / - влияние окружающей среды. Пусть
задана начальная популяция х0. Как будет изменяться эта популяция? Как ее
эволюция зависит от окружающей среды?
Ниже мы ограничимся функциями f некоторого определенного вида. Если f -
линейная функция, то решение (7.2.1) тривиально. В случае обратимой
функции / (монотонная зависимость от х) движение также простое и не
обладает хаотическими свойствами. Стационарные состояния являются
периодическими, а бифуркации типа удвоения периода отсутствуют. Как будет
видно ниже, хао-
х) Это справедливо, если исходная система имеет только один положительный
показатель Ляпунова.
Диссипативные системы
427
тическое движение связано J) с областями вблизи /' (х) = 0. Поэтому мы
ограничимся простейшим интересным случаем, когда f (х) имеет единственный
максимум (или минимум). Типичная / (х) в этом случае схематически
изображена на рис. 7.8. Для малых х происходит увеличение х, а для
больших - уменьшение. Такое отображение может, например, моделировать
окружающую среду, в которой рост популяции ограничен запасами пищи и
загрязнением окружающей среды.
Итерируя (7.2.1), можно проследить за эволюцией х для любого заданного
л'0. Можно также исследовать поведение (7.2.1) графически:
а) по х0 находим хг = f (х0), двигаясь вертикально вверх (см. рис. 7.8);
б) переводим х1 на ось х, двигаясь горизонтально до пересечения с прямой
f = х;
в) повторяя "а" и "б", находим х2, х3 и т. д. Из рис. 7.8 видно, что
отображение необратимо, поскольку одному и тому же хг соответствуют два
