Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 7.6
а - траектория с начальными условиями в неустойчивой неподвижной точке;
б-г - последовательные увеличения малого участка фазовой плоскости
(квадрат). Видна масштабная инвариантность структуры аттрактора.
Странный аттрактор существует не для всех значений а в интервале а2<а<и3.
Имеется много узких участков, в которых движение является периодическим с
периодами 3, 4, 5 ... и испытывает бифуркации удвоения периода [375]. Эти
особенности движения рассматриваются в § 7.2.
Э Аналогичная структура аттрактора наблюдалась в работе [73] для другого
отображения (см. также [74, 530]).- Прим. ред.
422
Глава 7
Математически доказать стохастичность аттрактора Хенона пока не
представляется возможным. Ситуация значительно упрощается для разрывного
отображения. Такой аттрактор с заменой х2" на | хп | в (7.1.14) был
рассмотрен Лози [285], а доказательство его хаотичности дано Мисюревичем
[301 ].
7Лв. Геометрия странных аттракторов
Численные данные для отображения Хенона показывают, как мы видели выше,
что структура аттрактора повторяется на все более и более мелких
масштабах. Ее можно сопоставить с канторовым множеством, свойства
которого позволяют значительно лучше понять природу странного аттрактора.
Рассмотрим вначале размерность канторова множества. Для этого нам
понадобится общее определение фрактальной размерности. Затем мы
рассмотрим простой пример канторова множества и найдем его размерность. И
наконец, обсудим некоторые методы вычисления и измерения фрактальной
размерности странных аттракторов, уделяя основное внимание ее связи с
показателями Ляпунова. Наше изложение следует частично обзорам Треве [411
] и Отта [324].
Канторовы множества и фрактальная размерность. Примем следующее
определение фрактальной размерности 1):
d(S)= lim-1(7.1.17)
V ' е+о In (We)
где 5 - некоторое множество в jV-мерном пространстве, а М (е) -
минимальное число /V-мерных кубов со стороной е, необходимых для покрытия
этого множества. При малых е из такого определения следует, что
М (е) ~ KeTd. (7.1.18)
Размерность (7.1.17) называют также емкостью. Для точки, линии и области
на двумерной поверхности фрактальная размерность имеет обычные значения
0, 1, 2 соответственно. Действительно, необходимое число квадратов со
стороной е для покрытия точки пропорционально 1/е°, для линии М сс 1/е1 и
для двумерной области М сх 1/е2.
Канторово множество является компактным, метрическим, нигде не плотным,
несчетным и может быть нулевой меры. Типичные канторовы множества имеют
дробную размерность (0<Д<Ч) и обладают масштабной инвариантностью, т. е.
при соответствующем изменении масштаба подмножество "выглядит" так же,
как и исходное множество. Известным примером канторова множества слу-
*) Такое определение размерности введено в работе [521]. Различные
понятия размерности и их взаимосвязь обсуждаются в обзоре [522] (см.
также [523]).- Прим. ред.
Диссипативные системы
423
жит так называемое "множество средних третей" (рис. 7.7), которое
строится следующим образом. Возьмем закрытый отрезок [0, 1 i и выбросим
из него открытый (без граничных точек) интервал (1/3, 2/3). Затем из двух
отрезков полученного множества Т1 аналогичным образом выбросим их
"средние трети" и получим новое множество Т2. Повторяя эту процедуру
бесконечное число раз, получим множества Т1( Т2, Т3, .... Канторово
множество Т есть пересечение всех Т". Грубо говоря, это пересечение есть
"предельное Т"у>.
м е
1
ч 1 1
Т,
1/3
2/3
I-
1/3
0 1/9 2/9 1/3
1--------1 I----------1
2/3 7/9 8/9 1
I 1 I-1 4 1/9
О 1
тз Ml-II-I Н Ml-I М I-I 8 1/27
Рис. 7.7. Построение множества Кантора.
М - число отрезков длины н, необходимое для покрытия множества Т
Из построения следует, что множество Тп состоит из М =2п разделенных
интервалов длиной е = (1/3)". Согласно (7.1.17), фрактальная размерность
Т равна
... In 2п In 2 А С01
d. = lim = ж 0,631.
In Зп In 3
Множество Т имеет нулевую меру
ПтбМ=Пт (-- \п = 0.
П-уоо п-юо \ 3 /
Покажем, что множество Т несчетно. Для этого представим действительное
число х в интервале (0, 1) в следующем виде:
424
Глава 7
где а,- принимают, вообще говоря, три значения: 0, 1, 2. Однако, для того
чтобы х принадлежало Т, необходимо, чтобы все а,- принимали только два
значения: 0 или 2 (см. рис. 7.7). И наоборот, любая
последовательность таких щ определяет х, принадле-
жащее Т. Но тогда существует взаимно-однозначное соответствие между
канторовым множеством и множеством всех двоичных последовательностей,
которое представляет все числа в интервале (О, 1). Последнее же, как
известно, несчетно.
Связь между фрактальной размерностью и показателями Ляпунова. Существует
гипотеза [218], связывающая фрактальную размерность с показателями
Ляпунова:
I
d = j-\-------------, (7.1.19)
°/+i
где все показатели упорядочены обычным образом: оу > >сг2 . .
l>oN, а / - наибольшее целое число, для которого
<П Л су2 + . . . + а,\> 0.
Рассел и др. [356] сравнили (7.1.17) с (7.1.19) для нескольких двумерных
