Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
полученном Кратчфилдом и др. [97 ] с помощью аналогового моделирования
системы (7.1.13), эти бифуркации показаны, начиная с р = 2,6 (а), когда
аттрактором является простой
f, Гц
yi*v
'M/VWvJ
AW'AJ
О 10 20 30
f, Ги
40 50
Рис. 7.4. Бифуркации удвоения периода для аттрактора Рёслера в проекции
на плоскость (X, Y) (по данным работы [97]).
Ниже показана спектральная плотность мощности для Z (t): a) \i = 2,6; б)
М- =3,5; в) р, = 4,1; г) = 4,23; д) М- = 4,30; е) \ь - 4,60.
предельный цикл. При увеличении р видны две первые бифуркации удвоения
периода (б ив). Показанный на рисунке спектр мощности имеет в этих
случаях вид острых пиков, характерных для регулярного движения. Ясно
видны последовательные удвоения периода. Переход к хаотическому движению
происходит при р^ = 4,20. Возникающий для р>рос странный аттрактор (рис.
7.4, г-е) имеет вид полосы хаотического движения, которая
Диссипативные системы
419
приближенно соответствует предельным циклам на рис. 7.4, а-в.
Соответственно спектр мощности представляет суперпозицию широкополосного
шума хаотического движения и острых пиков периодической компоненты. Ясно
видны обратные бифуркации удвоения частоты.
Переход к хаотическому движению через бифуркации удвоения периода
является, как мы увидим, характерным для широкого класса диссипативных
систем как отображений, так и потоков. При этом зависимость бифуркаций от
параметра и форма спектра оказываются универсальными вблизи перехода. Эти
вопросы будут рассмотрены в § 7.2 и 7.3.
Топология аттрактора Рёслера показана на рис.
7.5, а. Аттрактор представляет собой лист, который растягивается по
вертикали, поперек траекторий (стрелки), перегибается вдоль траекторий,
складывается, и, наконец, его правый и левый края соединяются друг с
другом.
Аттрактор Лоренца устроен более сложно (рис. 7.5,6).
Он состоит из двух листов, которые растягиваются и делятся на две части,
причем правый край каждого листа соединяется с левыми краями обоих
листов.
Можно представить себе и другие топологические структуры странных
аттракторов.
Хотя аттрактор Рёслера топологически проще аттрактора Лоренца, однако
соответствующее ему одномерное отображение (рис. 7.3,6) имеет области,
где производная | dXn+1ldXn |< 1. Как показывается в § 7.2, в этом случае
доказать хаотичность движения нелегко. Для аттрактора же Лоренца
аналогичная производная всюду больше единицы. Доказано, что такие
отображения являются хаотическими.
Аттрактор Хенона. Слоистая структура аттрактора хорошо видна на модели
Хенона [187], которая описывается простым двумерным
Все отрезки, обозначенные одинаковыми буквами соединяются друг с другом.
420
Глава 7
квадратичным отображением:
Хп+1 = Уп Н~ 1' Уп-fi " bxn.
- ихп,
(7.1.14)
Это отображение является обратимым, и его можно рассматривать как
отображение Пуанкаре для некоторого трехмерного потока. Сокращение
фазовой площади на одну итерацию определяется множителем
det М
д(*п + 1, Уп +1) d {хп, Уп)
¦¦ ь.
(7.1.15)
Можно показать [187], что отображение (7.1.14) является наиболее общим
квадратичным отображением с постоянным якобианом. При достаточно большом
х0 величина | х" | ->• оо из-за квадратичного члена. Однако некоторая
конечная область вблизи начала координат стягивается к аттрактору.
Отображение имеет две неподвижные точки
У
при условии, что
х+ = (2а)-1 Ьх±
(l^b)±[(l~by
-(1
-4ар'*}
(7.1,16)
Легко проверить, что точка всегда неустойчива, а точка х+ неустойчива при
При дальнейшем увеличении а^>ах численное моделирование показывает
последовательность бифуркаций удвоения периода. Аттрактор остается
простым и представляет собой р = 2п точек; р -> оо при а ->• а2- Далее
для большинства значений а в интервале а.г<с.а<с.а3 численные
эксперименты определенно указывают на существование странного аттрактора.
И наконец, для а>а3 большинство траекторий уходит на бесконечность.
Чтобы увидеть структуру аттрактора, Хенон выбрал относительно небольшое
значение Ь - 0,3. В этом случае а" яз - 0,1225; ах та 0,3675; а2 яз 1,06;
а3 яз 1,55. На рис. 7.6, а показан странный аттрактор для а = 1,4,
полученный за 104 итераций отображения с начальными условиями вблизи
неустойчивой неподвижной точки. Более детальная структура аттрактора
видна на рис. 7.4, б-г, представляющих собой последовательно увеличенные
участки фазовой плоскости. Видно, что структура аттрактора при изменении
масштаба повторяется, т. е. имеет место масштабная инвариант-
Диссипативные системы
421
ность г). Это подобие соответствует структуре канторова множества,
которое будет описано в п. 7.1в. Экспоненциальная расходимость близких
траекторий, подтверждающая стохастичность движения на аттракторе,
численно получена в работах [99, 124, 375].
-1,5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 1,5
Юч итераций а
0,6305 0,6310 0,6315 0,6320 5" 10 6 итераций
г
'¦ Слоистая структура аттрактора Хенона (по данным работы [187] стопия с
начальными условиями в неустойчивой неподвижной точке; б-г
