Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 145

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 942 >> Следующая

dt dxi0 dt
Используя (7.1.1) вблизи t = 0, для нормированного изменения объема
получаем из (7.1.6) при t-*¦ 0:
д= у = divK. (7.1.8)
dxi
i
Локальная величина А зависит от х (t) и может быть как положительной
(растяжение), так и отрицательной (сжатие). Однако под диссипативными мы
понимаем такие системы, для которых фазовый объем в среднем сжимается.
Записывая среднюю скорость сжатия как
Дт(х0, 0
Л0(л:о) = Ит-^-1п
t -> ОО *
Дт(х0, 0)
(7.1.9)
потребуем, чтобы Л"<;0 для всех л:0.
Для Л/-мерного отображения локальный объем Ат сжимается за одну итерацию
в | det М (х) | раз, где М - матрица Якоби для отображения. Скорость
сжатия равна
Л (л:) = -!-----------= In | det М (jc) ], (7.1.10)
Дт dn
где п - число итераций. Усредняя эту величину вдоль траектории, так же
как и в (7.1.9), получим Л0 (л:0).
Общий случай диссипативных систем с произвольной зависимостью Л (л:) мало
исследован. В большинстве известных задач Л (х) = - с, где с -
положительная постоянная, т. е. имеет место однородное сжатие всего
фазового объема. Очевидно, что для таких систем Л0 = - с.
Диссипативные системы
413
Показатели Ляпунова. Среднюю скорость сжатия фазового объема можно
выразить через показатели Ляпунова, которые были определены в п. 5.26 для
гамильтоновых систем. То же самое определение остается в силе и для
диссипативных систем. Лля iV-мерного фазового пространства имеется N
показателей, которые можно упорядочить следующим образом:
сгх > ст2 > . . . >oN,
где = амакс - наибольший показатель, а один из остальных показателей,
соответствующий смещению вдоль траектории, равен нулю. Используя (5.2.14)
и (5.2.16), для средней скорости сжатия получаем
N
л0 =So(. (7.1.11)
;=i
Определение величины Л0 согласно (7.1.9) и (7.1.11), равно как и
определение самих показателей Ляпунова, применимо как для потоков, так и
для отображений, включая отображение Пуанкаре, соответствующее исходному
потоку. В последнем случае N-1 показателей зг пропорциональны
соответствующим показателям потока [см. (5.2.20)], а нулевой показатель
опускается.
Хаотическое движение, как и в гамильтоновых системах, связано с
экспоненциальной расходимостью близких траекторий, т. е. для хаотического
движения зг >0. С другой стороны, фазовый объем должен сжиматься. Из эти
двух фактов следует, что хаотическое движение для одно- и двумерных
потоков невозможно1). Для двумерного случая (N = 2) отображение Пуанкаре
одномерное (и обратимое), поэтому из (7.1.11) следует, что Л0=а1. Такое
отображение не может быть одновременно и диссипативным (Л0<;0) и
хаотическим (а2 >0). Поэтому наиболее простыми системами с хаотическим
поведением являются трехмерные потоки или двумерные отображения. В
последнем случае для хаотического движения должно быть ^>0 и ах + a2"<0-
В некоторых предельных случаях из обратимых отображений с N >2 можно
получить одномерные необратимые отображения. Их поведение исследуется в §
7.2. Для таких отображений связь растяжения фазового объема с
расходимостью близких траекторий нарушена, и при ах>0 возникает
ограниченное хаотическое движение. Как будет показано, многие многомерные
диссипативные системы приближенно можно свести к одномерным отображениям.
Простые аттракторы. Так как фазовый объем в диссипативных системах
сжимается до нуля, то устойчивое стационарное движение
*) Фактически теорема Пуанкаре - Бендиксона утверждает, что хаотическое
движение невозможно для любых двумерных потоков, как диссипативных, так и
недиссипативных. Мы уже убедились в этом для гамильтоновых систем с одной
степенью свободы (двумерное фазовое пространство).
414
Глава 7
в TV-мерной системе должно происходить на "поверхности" меньшей
размерности. Грубо говоря, такую поверхность и называют аттрактором.
Более точно, мы будем называть аттрактором, следуя Лэнфорду [254 ], такое
подмножество X фазового пространства, которое удовлетворяет следующим
условиям:
1) X инвариантно относительно потока;
2) существует (открытая) окрестность X, которая сжимается к X под
действием потока;
ПреЭельпый цикл Xz
Рис. 7.1. Простые аттракторы.
1-область притяжения фокуса Хх, 2, 3 - область притяжения предельного
цикла Х2-
3) никакая часть X не является переходной х);
4) X нельзя разложить на два непересекающихся инвариантных множества.
Областью притяжения аттрактора X является множество состояний в фазовом
пространстве, которые стремятся к X при t-*¦ оо. Обычно для TV-мерного
потока имеется конечное число аттракторов Хъ . . . , Хм, хотя известны
примеры и с бесконечным числом аттракторов. С точностью до меры нуль все
начальные состояния лежат в области притяжения одного из М аттракторов
(см. рис. 7.1).
J) То есть траектория не уходит из нее при t -> оо.- Прим. ред.
Диссипативные системы
415
Для одномерных потоков единственными аттракторами являются устойчивые
неподвижные точки, или устойчивые фокусы (аналогично точке Х1 на рис.
7.1). Например, для уравнения
~=V(x, у), at
V
ч.
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed