Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
с одной стороны, определяют движение частиц, а
х) Это не совсем так. В работе [71] показано, что скорость диффузии на
плато дается квазилинейным выражением
DT " я (("- Л*)2) " (п/2) <?Ь\фУ(В\^т)ъ Dq,
которое совпадает с (6.4.43) с точностью до числового множителя (см. рис.
6.25).- Прим. ред.
Многомерные колебания
403
с другой - сами зависят от коллективных движении этих же частиц. При
такой постановке задачи гамильтониан системы априори неизвестен, а
исследования проводятся обычно с помощью численного моделирования полной
системы уравнений для частиц и поля. Ниже кратко описан пример такой
задачи.
1 1' ~Т~
\ . -
ч / 7" V, •' "Ч"'\ ч',. / v V-
V- \ '* ( ' и \ / V'-'" ¦ \ / ' и
\
. V ' •- ' Ч г.'
- \ 1 Г' 1 • 1 -г"'|
t= 1910 гмй
-0,8 -0,4 0 0,4 0,1
ft = 2004rMB
~П I Г
-. \ N
I 1 Г
t - 2060 г
-0,8 -0,4 0 0,4 0,8
t =2П6гме
Рис. 6.27. То же, что и на рис. 6.26, но с учетом самосогласованного
магнитного поля для четырех моментов времени (численные данные работы
[48]).
гмг - характерное магнитогидродинамическое время.
Тиринг-моды и неустойчивости срыва в токамаках. В токамаке (см. п. 6.4а)
полоидальная составляющая магнитного поля возбуждается азимутальным током
частиц плазмы, движение которых считается регулярным. Однако в плазме с
конечной электропроводностью возможна неустойчивость тиринг-моды (см.,
например, [48, 428]) с винтовым возмущением тока (йр-m|) = const; I, п -
целые числа).
404
Глава 6
Такое возмущение тока нарушает азимутальную симметрию магнитного поля и
приводит к резонансам магнитных линий. В случае цилиндрической симметрии
одна винтовая мода приводит к образованию только одного резонанса, и
конфигурация магнитного поля остается регулярной. Однако с учетом
тороидальности появляются новые резонансы. Например, винтовая мода с I =
2 и п = 1 приводит к образованию одного резонанса второй гармоники на
магнитной поверхности i = л. Тороидальность же добавляет к нему резонанс
третьей гармоники при i = 2я/3. В токамаках обычно обе резонансные
поверхности расположены в области, занятой плазмой. Структура магнитных
поверхностей в этих условиях, полученная путем численного моделирования
для стационарной винтовой моды, показана на рис. 6.26. В данном случае
область стохастических магнитных линий оказалась незначительной. Однако
если присутствует еще и винтовая мода с I = 2, п = 2, то область
стохастичности резко увеличивается. Результаты численного моделирования
эволюции двух этих мод путем решения самосогласованных уравнений для
частиц и поля показаны на рис. 6.27 для четырех моментов времени. На
первом кадре ясно видны резонансы с i = я и i = 2я/3. На втором кадре
виден результат взаимодействия между резонансами - большая часть
магнитных линий в в районе резонанса i = it стала стохастической. На
третьем кадре стохастичность распространяется и на область резонанса i =
2л/3. И наконец, на четвертом кадре показана заключительная стадия
эволюции, которая привела практически к полному разрушению магнитных
поверхностей. Связанное с этим резкое изменение распределения тока по
сечению камеры считается причиной неустойчивости срыва в токамаках.
§ 6.5. Системы со многими степенями свободы
Исследования систем со многими степенями свободы всегда вызывали большой
интерес. Причиной этого является, с одной стороны, желание понять
поведение непрерывных систем, описываемых нелинейными дифференциальными
уравнениями в частных производных, а с другой - связь со статистической
механикой. Геометрия многомерных резонансов рассматривалась в п. 6.1а, а
также в § 6.3 (более подробное описание можно найти в работе [70]). С
точки зрения резонансной структуры вопрос о поведении системы с большим
числом степеней свободы сводится к вопросу о том, возрастает ли плотность
основных резонансов быстрее, чем уменьшается их ширина, по мере
распределения энергии по многим степеням свободы. Если это действительно
так, то при N -оо следует ожидать перекрытия резонансов и сильной
стохастичности движения.
Чтобы как-то продвинуться в этом направлении, можно, напри-
Многомерные колебания
405
мер, обобщить модель ускорения Ферми на случай, когда движение стенки
является суперпозицией колебаний с несколькими частотами. Для случая двух
частот это было сделано в работе Ховарда и др. [202] для отображения х)
*п+1 -
фя+1 - фя "Ь
As sin stpn + Ar sin npn
VA2s + Ar 4nM (6-5-")
(r + s) Un+1
Здесь величина Л2 характеризует "энергию колебаний" соответствующей
частоты. Если считать полную энергию ?Л2 = const и
i
возбудить колебания с N частотами, то ширина резонанса А и ос Л1/2 сх
N~1/4. Считая распределение частот случайным, можно ожидать, что
максимальное расстояние между резонансами 6ммакссс (\nN)/N. Таким
образом, параметр перекрытия резонансов
-- се Ж!!- (6.5.2)
бймакс In N
возрастает с N. Сравнивая результаты для одной и двух частот в модели
(6.5.1), Ховард и др. [202] нашли, что эффект, по меньшей мере, порядка
