Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
К = ?. (6.4.30)
Выражая Аи через Y и Ах из (6.4.29), подставляя в (6.4.26), получаем
dQ h2
dt = 6||0F+ J^Q(l+5)Ax. (6.4.31)
Параметр
". Wlin
S = -4-------------------------------------(6.4.32)
*||0
характеризует влияние поперечного градиента магнитного поля ("шира"),
которое существенно при S " 1. Путем изменения масштабов
k2
I = Q (1 + S) Ах, (6.4.33а)
P = knoY (6.4.336)
система уравнений (6.4.24), (6.4.31) и (6.4.30) приводится к стандартному
виду (6.3.28)
dl
dt
dQ
dt
dP
dt
= K sine, (6.4.34a)
= I + P, (6.4.346)
= t, (6.4.34b)
Многомерные колебания
399
где
К =klov2T (1+S)-^- , (6.4.35а)
S = *110? (6.4.356)
и положено Т = Ми2..
Скорость диффузии. Аналогично п. 6.36 коэффициент резонансной диффузии по
/ определяется соотношением
(I2) (Р2) ] Щ\$>2т
Dr=-^-=-^- = -------------------------------(6.4.36)
2t 2t 2 тс
Пренебрегая нерезонансной диффузией, получаем для средней скорости
диффузии аналогично (6.3.33):
(D) = Drfr, (6.4.37)
где /г - доля резонансных частиц. Считая разброс 0ц порядка vT и,
следовательно, согласно (6.4.336), разброс Р порядка k^0vT, находим
(6.4.38)
что дает
k\\0vT
(D) = -j-kl0v2T(l +S)V* (^-)V2/T, (6.4.39)
Переходя с помощью (6.4.33а) к переменной Ах, имеем
DX = 4" -2 У±--, ¦ 2 - • (б-4-40>
2 fe20(l-'-S)3: V Т ) %с
Этот результат был получен Невинсом и др. [316] более формальным методом,
не раскрывающим механизма диффузии. Отметим, что выражение (6.4.40) не
дает точного количественного значения коэффициента диффузии ввиду
неопределенности оценки (6.4.38). Диффузию такого типа иногда называют
псевдоклассической, так как ее скорость (6.4.40), как и для классической
диффузии, пропорциональна р|/тс, но зависит от амплитуды Ф0 резонансной
гармоники возмущения.
Сравнение аналитических и численных результатов. В работе Не-винса и др.
[316] проведено также сравнение с результатами численного моделирования,
для которого использовались точные уравнения движения частицы, а
столкновения учитывались по методу Монте-Карло. В типичном случае для
получения хорошей статистики просчитывались траектории от 500 до 1000
частиц. Было получено разумное согласие с теоретическими зависимостями от
различных параметров. Мы приведем здесь два результата.
400
Глава 6
На рис. 6.24 численные данные (D*) сравниваются с аналитическим
выражением (6.4.40) для Dx, в которое введен дополнительный множитель.
Подгонка дает D* = 0,8 Dx, т. е. согласие хорошее.
На рис. 6.25 показана зависимость скорости диффузии от эффективной
частоты столкновений
Рис. 6.24. Скорость дрейфовой диффузии D* в зависимости от параметра шира
S (по данным работы [316]).
ки-численные данные (с ошибками); сплошная линия -теоретические значения
(6.4.40)* умноженные на 0,8 (подгонка, см. текст).
где vc = 1/тс. Видн плато и интересный переходный режим в
на резонансе 1). Скорость диффузии на плато можно определить,
х) Аналогичные результаты были получены для блисхой, но более простой
модели в работе [517] (рис. 5).- Прим. ред.
"^эфф -
(6.4.41)
еФ0 (1 + S)
102 -1
10
D
кл
= p|/'V' еФп/т = °'01' к\1'кл = °'03' Ш/7г||о VT ~ к L&L = 4'3 х 10 3-
Точ_
районе тЭфф/со0 = 1 где со0 = К.ч' - частота фазовых колебаний
Многомерные колебания
401
исходя из простого предположения, что при v3(M,;>(o0 длина дрейфа между
столкновениями уменьшается с ростом vc таким образом, что сохраняется
отношение
уЭфф/<в0"1. (6.4.42)
Используя в (6.4.42) w0 = К?12 из (6.4.35а) и уэфф из (6.4.41), на-
{к ,"Т\У~1
ю
10~:
10-
R1
А,
Рис. 6.25. Скорость дрейфовой диффузии в зависимости от частоты
столкновений (по данным работы [316]).
D
0 - (* [| Ут) 1(ск±Фд/В)2; еФд/Т = 0,08; к^/кх = 0,2; о) = 0; k±pL = 4,3
X 10 3.
Точки - численные данные (с ошибками); сплошная линия - теоретические
значении <6.4.40), умноженные на 1,3; пунктирная линия - плато (6.4.43).
ходим vc и подставляем эту величину в (6.4.40). В результате получаем
независящий от vc коэффициент диффузии на плато1):
D?
- k,,vT ui И т
еф,
о
2
Р L-
(6.4.43)
*) При й и ->• 0 эта оценка [как и в (6.4.40)] становится неприменимой в
силу тех или иных ограничений. Если, например, рассматриваемая модель
справедлива при Дх si а, то амплитуда дрейфовых колебаний [kpJk^X
Х(еФ0/Т)^2 и D(!л ^ Vj.k^n (еФ0/Т)^*.- Прим. ред.
402
Глава 6
Этот результат, полученный в пределе нулевого шира, отличается от
результата кинетической теории [358 ] лишь на числовой множитель, близкий
к единице. Заметим, что, хотя соотношение (6.4.42) и является
правдоподобным, оно не вытекает из рассматриваемой теории 1).
6.4г. Самосогласованная задача
Диффузия в тороидальных плазменных ловушках указывает на очень важную
особенность реальных физических задач, не рассмат-
Рис. 6.26. Сечение магнитных поверхностей плоскостью ф = const (численные
данные работы [48]).
Виден винтовой резонанс I n ~ 2/1, окруженный тороидальным резонансом на
третьей гармонике.
риваемую явно в этой книге. Речь идет о самосогласованных полях, которые,
