Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 14

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 942 >> Следующая

кинетическая энергия, U - потенциальная энергия и все связи
предполагаются независящими от времени. Уравнения движения Лагранжа для
каждой из координат q( имеют вид
= (1.2.2)
dt д-( d4i
Эти уравнения можно получить либо из вариационного принципа (б j' Ldt
~ 0), либо путем прямого сравнения с законами движения
Ньютона. Определим гамильтониан посредством соотношения
Н(р, q, 0 = 2 qiPi~L[q, q, t), (1-2.3)
i
где q рассматривается как функция q и новой переменной р. Вычисляя
дифференциал Н, получаем
dW=V-f-d,(+y-^dpi + -f-d/ =
^ dqt dpi dt
V (Pi dPi + V
% / JmJi
qtdpt-
%
i
d dL \ , dL
dt
dt, (1.2.4)
где мы подставили (1.2.2) в третью сумму справа. Уравнение (1.2.4) может
быть удовлетворено только, если определить р,- как
pt = ^~. (1.2.5)
dqt
При этом первая сумма справа в (1.2.4) тождественно обращается в нуль.
Приравнивая коэффициенты при дифференциалах, получаем уравнения движения,
содержащие только первые производ-
22
Глава 1
и
dL
dt
дН
dt
(1.2.7)
Переменные р, q называются обобщенными импульсами и координатами, а
соотношения (1.2.6) и (1.2.7) есть уравнения Гамильтона. Исследование
характера решений этих уравнений составляет основное содержание настоящей
монографии. Любой набор переменных р, q, временная эволюция которых
дается уравнениями вида (1.2.6), называется каноническим, а сами р,- и qt
- сопряженными переменными.
Производящие функции от смешанных переменных. Пусть мы хотим перейти от
канонических переменных q, р к новым переменным q, р. Их можно связать
при помощи некоторой функции от одной старой и одной новой переменных
следующим образом. Так как лагранжиан получается из вариационного
принципа, то, используя (1.2.3), находим
Это уравнение справедливо как для старых, так и для новых канонических
переменных. Поэтому интеграл в (1.2.8) для разных переменных может
отличаться только на полный дифференциал:
где мы выбрали функцию F - F ъ зависящей от q и q. Раскрывая полную
производную от Fг, получаем
Считая переменные в (1.2.10) независимыми, из (1.2.9) (сравнивая
соответствующие члены и требуя, чтобы члены с щ и qt по отдельности
равнялись нулю) находим
S
(1.2.8)
(1.2.9)
dF 1 (q, q, t)
dt
(1.2.11a)
Общий обзор и основные представления
23
Можно определить производящие функции и от других пар смешанных (старой и
новой) канонических переменных:
F2\q,~p, t), Fs (р, q, t), F4\p, p, t).
Если, например, ввести F2 при помощи преобразования Лежандра
Е2(<7, Р, t) = F1 \q, q, t\ + y.qiPij (1.2.12)
i
где q- функция q и р, то получим каноническое преобразование в виде
Pi = ^~, (1.2.13а)
dqi
= (1.2.136)
dPi
Н\р, q, t) = H(p, q, t) -r-yr F2 {q, p, t). (1.2.13b)
dt
Производящие функции F3 и F4 определяются соотношениями, аналогичными
(1.2.12), и приводят к соответствующим каноническим преобразованиям.
Канонические преобразования позволяют, по крайней мере формально, решить
уравнения движения динамической системы следующим образом. Рассмотрим
отдельно случай гамильтониана, зависящего явно от времени, и случай
автономного гамильтониана, не зависящего от времени. В первом случае
положим Н = 0. Тогда производные по времени от новых переменных равны
нулю в силу уравнений Гамильтона. Поэтому новые переменные не зависят от
времени и их можно интерпретировать как начальные значения исходных
(непреобразованных) переменных. Таким образом, каноническое
преобразование фактически оказывается решением, определяющим значения
координат и импульсов в произвольный момент времени в зависимости от их
начальных значений. Подставив (1.2.13а) в (1.2.13в) с Н = 0, получим
уравнение в частных производных для производящей функции F2:
я(дг • "• ()+-т=0'
которое называется уравнением Гамильтона-Якоби. Во втором случае, когда Н
не зависит от времени явно, достаточно положить Н равным константе. Тогда
преобразование (1.2.1Зв) приводит к уравнению Гамильтона-Якоби в виде
Я(^, q)=E. (1.2.15)
Если переменные в уравнениях (1.2.14) и (1.2.15) не разделяются,
24
Глава 1
то решить их столь же трудно, как и исходные канонические уравнения.
Однако метод Гамильтона-Якоби очень удобен для получения приближенных
решений в виде рядов для систем, близких к системам с разделяющимися
переменными, или, как их чаще называют, для систем, близких к
интегрируемым.
Скобки Пуассона. Важной динамической величиной являются скобки Пуассона'.
[и, = (1.2.16)
\ dqk dpk dqk dpk J
k
где и и v - произвольные функции канонических переменных. Уравнения
движения можно записать с помощью скобок Пуассона следующим образом.
Выбрав в качестве и координату, а в качестве v гамильтониан системы,
получим
[ ( dqi дН _ дН dqi \ дН
\ dqk dpk dph dpk j dpt
k
Сравнивая с уравнениями Гамильтона, имеем
<7; = [<7л И] (1.2.17)
и аналогично
Pi = \Pt, Н]. (1.2.18)
Скобки Пуассона удовлетворяют правилу антикоммутации
[и, v] = -[и, и] (1.2.19)
и тождеству Якоби
[[и, с], йу] -г[[ш, и\, и]-Г [[у, w\, ы] = 0. (1.2.20)
Используя уравнения Гамильтона, можно записать полную производную
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed