Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
пролетную раньше, чем она успевает совершить полное колебание по радиусу,
т. е. ее радиальное смещение за один захват уменьшается по сравнению с
(6.4.15). Однако при этом пролетные частицы с относительно малой
скоростью н |( также вносят существенный вклад в диффузию, расширяя таким
образом область (по неэффективного радиального дрейфа. Учет всех этих
эффектов приводит к тому, что коэффициент диффузии перестает зависеть от
частоты столкновений. Поэтому обычно этот случай называют режимом плато.
3. При высокой частоте столкновений все частицы вносят вклад в диффузию.
Характерный масштаб радиального дрейфа между столкновениями равен рУа, а
коэффициент диффузии снова пропорционален частоте столкновений.
Во всех трех режимах характерный масштаб радиального смещения
пропорционален ларморовскому радиусу pL = vT/Q, так что зависимость
коэффициента диффузии от магнитного поля имеет классический вид D сс р2
зс 1/В2. Поэтому такую диффузию называют неоклассической 1). Подробная
теория этой диффузии дана в обзоре Галеева и Сагдеева [147]. Как
отмечалось в п. 6.3а, аналогичные три режима диффузии существуют и в
резонансном каналировании.
6.4в. Диффузия в нестационарных полях
В нестационарных полях положение дрейфового резонанса уже зависит от о и
(см. ниже), и резонансы возможны при любом г. Поскольку ширина этих
резонансов значительно превышает размах радиальных колебаний запертых
частиц (6.4.15), то диффузия, аналогичная неоклассической, будет
определяться теперь резонансами. Эта задача рассматривалась Геллом и др.
[152] и, более подробно, Невинсом и др. [316] 2).
Условие резонанса имеет вид
тсоф(г, уп) + псйф (г, ои) + /(c) = 0, где со - частота колебаний поля. Из
этого условия (при заданных
1) Приставка "нео" здесь не очень оправдана, поскольку такой механизм
диффузии рассматривался Будкером еще в 1951 г. (см. [509], с. 50), хотя
разработка полной теории этих процессов "несколько" задержалась [510].-
Прим. ред.
2) Эта задача впервые рассмотрена Погуце [525) для объяснения аномальной
электронной теплопроводности в токамаке.- Прим. ред.
396
Глава 6
п, т и I) можно найти положение центра резонанса г = г(г/
, со) Д
Если при этом имеет место внешняя диффузия частицы по v |(, то
резонанс диффундирует по г. Пример такой диффузии рассмотрен в п. 6.36, а
ее описание можно свести к отображению.
Рассмотрим переменное поле в виде плоской волны, фаза которой
Q - k-r - со t, (6.4.17)
где k - волновой вектор. В дрейфовом приближении скорость частицы
параллельна магнитной линии, поскольку скорость дрейфа считается малой по
сравнению со скоростью частицы. Поэтому скорость изменения фазы волны
равна
-^-=?11('')и1|-со, (6-4-18)
где - проекция волнового вектора на направление магнитного поля.
Построение отображения. Будем использовать для простоты декартову систему
координат, в которой х соответствует/- (см. рис. 6.23); волновой вектор k
= k0y, а В (х) лежит в плоскости (у, z), причем Ву - 0 при х = 0.
Зависимость В" (х) примем в виде
By(x) = B-f~,
где Ls -• некоторая постоянная (для тороидального поля LJ1 = = (R/a)
di/dr). Тогда
k^x) = k±-f-,' (6.4.19)
где мы положили приближенно k0 = k±. Для потенциала волны
ф = ф0 cos 0 (6.4.20)
уравнения движения (6.4.13) можно представить в виде
ф sin 0 (6.4.21)
dt В к '
_^!L = J_b ф sinO. (6.4.22)
dt м " v '
0 Обе частоты со^ и со^ пропорциональны v ц , и при I Ф 0 положение
резонанса зависит от v ц. В статическом поле (со =0) Уц исключается из
резонансного условия, и резонанс, казалось бы, не может смещаться по г.
Это, однако, правильно, за исключением важного частного случая Уц = 0,
когда условие резонанса автоматически выполняется при любом г. Фактически
в рассматриваемом ниже примере скорость диффузии (6.4.40) вообще не
зависит от со (при S <<С 1). В частности, численные данные на рис. 6.25
относятся как раз к диффузии в статическом поле.- Прим. ред.
Многомерные колебания
397
Вместе с (6.4.18) эти уравнения определяют возмущенное движение частицы в
отсутствие столкновений. Из (6.4.18) условие резонанса с центром в точке
х = х0 имеет вид
^цо^по-'(r) = 0' (6.4.23)
Z
Ажо)
Рис. 6.23. Конфигурация полей в модели дрейфовых резонансов.
где &ц 0 = АЦ (х0). Невозмущенное движение в центре резонанса
соответствует 0 = 0. Линеаризуя уравнения движения по л; и получаем
. ей
(Ах) = Ф0 sin 0, (6.4.24)
dt В
-^(Ч)=^Л.ф."п0+?' <ел25>
+ fti|0A"ll' (6.4.26)
где Ах = х-хд, Avy = 0ц--Оцо- В уравнение (6.4.25) добавлено
случайное изменение скорости которое учитывает столкновения
398
Глава 6
между частицами. Положим (?) = 0 и
4-<Р>=Ж (6.4.27)
dt т с
где vT - тепловая скорость частицы, а х( - среднее время между
столкновениями. Согласно (6.4.23) и (6.4.19), это приводит к смещению
резонанса по х.
Преобразуем уравнения (6.4.24) - (6.4.26) к виду (6.3.28). Для этого
исключим 0 из уравнений (6.4.24) и (6.4.25)
и введем новую переменную
Y = At,,,-(6.4.29)
которая описывает только случайный процесс
