Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Как мы увидим ниже, единственным существенным параметром невозмущенной
магнитной поверхности является обычное число вращения а, или угол
"прокручивания" магнитной линии за один оборот вокруг большой оси тора
2Я
i= ^ ^ d\|) = 2яа. (6.4.4)
о
В случае токамака hs ~ 1. Вводя переменную действия ? = г2/2, приведем
уравнения движения (6.4.1) к виду
dt, _ 0 _dq> _ I (О
dip dip 2я
с гамильтонианом
1
Н0 (0 = -- ( ^ (?) dt, = const. (6.4.5)
2я о
Аналогично, для поля левитрона (6.4.3)
Л_
dz
- Bv л/2t, sin ф,
А = -1_+-^со3ф, (6-4-6)
dz 2К ^
где z = гр/2зх, и принято, что В0 = 1. Эти уравнения можно получить из
гамильтониана 1
Н = -
Р
In
ш-
+ В"У2? СОБф.
Перейдем к переменным действие - угол (см. § 1.2)
2Я
J = - f Уф, (6.4.7а)
2л о
/С Н f\
ф= -------г-, (6.4.76)
dJ
где S - производящая функция. С точностью до членов, квадратичных по J,
получаем (см. § 2.2 или 2.5):
Я0= - Inf- 2^ - 2 B2DfU-------------------Bttfj2. (6.4.8)
Р W27 ) 2
Угол прокручивания i = dH0ldJ определяет магнитную поверхность.
Подчеркнем, что при наличии азимутальной симметрии
390
Глава 6
(по ф) гамильтониан магнитных линий описывает интегрируемую систему с
одной степенью свободы.
Резонансы. Рассмотрим модель возмущенного магнитного поля с
гамильтонианом
Разлагая вокруг невозмущенной траектории J = J0 AJ и ф =
Рассмотрим резонансные невозмущенные магнитные поверхности, для которых
?Йр/^ф=п/т. Переходя к резонансным переменным (см. § 2.4)
находим следующий гамильтониан возмущенного движения:
В работе [137] произведен численный расчет магнитного поля левитрона,
возмущенного с помощью наклона кольцевого проводника. Для резонанса т = п
= 1 (i = 2п) получено прекрасное согласие с аналитическим выражением
(6.4.12), если только возмущение не превышает порог глобальной
стохастичности. Для относительно больших возмущений наблюдалось
образование вторичных резонансов, как и предсказывает теория в § 2.4 и
4.3. На рис. 6.22, а показано теоретическое (сплошная линия) и найденное
численно сечение резонансной магнитной поверхности для невозмущенного i =
2л. Локальное число вращения в центре резонанса а = 1/(5,6), и поэтому
вторичные резонансы не видны. На рис. 6.22, б возмущение увеличено, так
что а = 1/4 (вторичный резонанс на четвертой гармонике). Результаты
численного счета (кружки) теперь уже не ложатся на теоретическую кривую,
а соответствующая магнитная линия оказывается стохастической.
Н - Н0 (/) -f- е,Нг (/, ф, ф).
(6.4.9)
= -- ф Аф, получаем уравнения
=е 2 АтпСО$(гПу -пф + ушп), (6.4.10)
d\|) т, п
ЛАф _ 1 dt д j
с(ф 2я 3J где Атп ¦- амплитуды Фурье для dHJdy.
ф = Щф - "ф,
Н= _Д! +еДтпсозф, (6.4.11)
2л dJ 2
где А? = АЛт. Полуширина резонанса, согласно (2.4.31), равна
(6.4.12)
Рис. 6.22. Резонансы магнитных линий в левитроне при l = 2л (по данным
работы [137]).
а - угол наклона кольцевого тока (возмущение) 6 = 0,25°; б - 6 = 0,5°;
сплошные линии - теоретические инвариантные кри- со
вые; кружки - численный счет. <0
Многомерные колебания
392
Глава 6
Теоретический анализ (см. п. 2.46) показывает, что вторичные резонансы с
а = 1/4 и а = 1/5 перекрываются, что и приводит к наблюдаемой
стохастичности.
Аналогичные результаты для винтовой обмотки были поручены Розенблютом и
др. [349] и Филоненко и др. [129]. Возмущения общего вида в токамаках
рассматривались Речестером и Стиксом [343 ] и Финном [130]. В этих
работах исследовались также перекрытие резонансов и внутренняя диффузия
1). Во всех случаях рассматривалось возмущение и разрушение только
магнитных поверхностей. Принималось, что заряженные частицы двигаются
точно вдоль магнитных линий и конечный размер ларморовского радиуса не
играет роли. Поскольку мы рассматриваем задачи, эквивалентные двум
степеням свободы, то внутренняя диффузия возникает только при перекрытии
резонансов (гл. 5), тогда как диффузия влоль резонансов отсутствует.
6.46. Дрейфовые поверхности и диффузия в статических полях
Дрейфовые поверхности. При учете конечного ларморовского радиуса
электрического поля и неоднородности магнитного поля оказывается, что
частицы не следуют точно за магнитной линией, а медленно сдрейфовывают
перпендикулярно ей. Траектории ларморовского центра заполняют дрейфовые
поверхности. При этом могут иметь место резонансы между гармониками
неоднородности поля и дрейфовым движением. Уравнения движения в дрейфовом
приближении в отсутствие токов имеют вид (см., например, [362], § 2.2)
2):
- усредненная по ларморовскому вращению сила; р =
масса; Уц, v± -параллельная и перпендикулярная магнитному полю компоненты
скорости частицы; г - радиус-вектор ларморовского центра; s - координата
вдоль магнитной линии; Ф - элек-
dr с FX В , В
- ! dt е В2 11 В
(6.4.13а)
*11
е <ЭФ |i М
М ds М ds
(6.4.136)
dt
где
- Mv2±IB - магнитный момент; е - заряд частицы; М - ее
]) См. также работу [514].- Прим. ред.
2) См. также работы [515, 516].- Прим. ред.
Многомерные колебания
393
трический потенциал и с - скорость света. В дрейфовом приближении р
