Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
амплитуды и фазы соседних резонансов различны.- Прим. ред.
2) Эту интуицию следует подправить: при прохождении резонанса (вследствие
модуляции), как и при прохождении частоты осциллятора через нуль,
адиабатичность всегда нарушается независимо от скорости прохождения.-
Прим. ред.
3) По этой причине оценка (6.2.54) неточна - ширину слившегося резонанса
следует определять по полной амплитуде возмущения k [см. (6.2.48)], а не
по амплитуде гармоники kfn (X) [см. (6.2.50)]. В результате получаем k >
й2А,2/16.- Прим. ред.
368
Глава 6
слою этого резонанса падает. Три режима *) движения в модуляционном слое,
определяемые неравенствами (6.2.53) и (6.2.54), схематически показаны на
рис. 6.13.
Эти три режима были описаны Теннисоном [404] для модели взаимодействия
встречных протонных пучков в проекте накопительного кольца Брукхейвенской
лаборатории (США). В этой модели Теннисона использовалась модуляция
частоты:
-^4- = k sin тН, ^ ¦ = Л + A, cos (6.2.55)
dt dt
Рис. 6.13. Три режима движения внутри мультиплета в зависимости от
частоты модуляции Q (по данным работы [276]),
а - большая частота Й, модуляционные резонансы не перекрываются, слабая
диффузия Арнольда вдоль отдельных стохастических слоев; б - промежуточная
частота Й, резонансы перекрываются, сильная модуляционная диффузия вдоль
широкого слоя; в - очень малая частота Й, все резонансы сливаются в один,
диффузия Арнольда вдоль единого стохастического слоя.
тогда как в рассмотренной выше модели (6.2.48) модулируется фаза: -^- =
^sin(0! + ?isinQ/), (6.2.56)
Обе модели сводятся друг к другу путем замены переменных с производящей
функцией
F = J1{Q1 + XsinQt),
0 Существует также и четвертый, промежуточный, режим захвата Для !ГГ>>
Q4.
Многомерные колебания
369
причем X = XIQ. На рис. 6.14 показан эффект модуляции для стандартного
отображения (при К = 0,007), что соответствует уравнениям (6.2.55), если
заменить ft на K$i (t), где (t) - периодиче-
ская 6-функция (3.1.33). При X = 0 (рис. 6.14, а) имеется единственный
резонанс с шириной 2А/маКс = 47С1/2. При X = 0,63 и последовательно
уменьшающейся частоте ?2 на рис. 6.14, б виден мультиплет
неперекрывающихся резонансов; на рис. 6.14,6 - частичное перекрытие
резонансов; на рис. 6.14, г - полное перекрытие резонансов.
Диффузия вдоль мультиплета. Вернемся к гамильтониану (6.2.48). Диффузию
вдоль перекрывающихся резонансов мультиплета (по /2) можно вычислить в
модели стохастической накачки. Продольная часть гамильтониана имеет вид
Н и =-^-/1-есоз(е1(0-ег). (6.2.57)
Отсюда [ср. (6.2.7)]:
"7Г~= - e~jr cos(0x-02) + esin(01- 02)-^-. at at at
Первый член приводит лишь к малым осцилляциям Н ц, которыми мы
пренебрегаем. В результате получаем
А Я |, " е [ sin ф dt, (6.2.58)
J dt
где фаза ф (t) = 0Х-02.
Для вычисления ф (t) нужно невозмущенное движение 0Х (t) и 02 (t).
Положив в (6.2.57) е = 0, запишем решение в виде
(c)г (0 = - Хо-я/2. (6.2.59)
Получить 0Х (t) из (6.2.50) можно лишь приближенным методом. Считая k
малым параметром возмущения, запишем (6.2.50) в виде
Я0 = -^-7? (6.2.60а)
и
-k'^lfn(X)cos(Q1 + nQt). (6.2.606)
п
Используя каноническую теорию возмущений (п. 2.26) и замечая, что (Ях) =
0, из (2.2.44) получаем в первом порядке по ft: Я = Я0, 1г = Iо = const,
0j = I0t, а для производящей функции - выражение [см. (2.2.45) ]:
sin (Q1 + nQt). (6.2.61)
4тя nQ + I\
370
Глава 6
Рис. 6.14. Фазовая плоскость стандартного отображения при модуляции
/< = 0,007. а - модуляция отсутствует; о -г - частота модуляции
последовательно
Многомерные колебания
371
частоты.
уменьшается при постоянной амплитуде.
372
Глава 6
Подставляя в (6.2.606) 02 = 0i = I0t и используя (6.2.61), находим
01 (0 = У + Sin [ (/" + nQ) Ц. (6.2.62)
jitU (nQ + Iо)2
П
В качестве грубого приближения оставим в этой сумме один (наибольший)
член с тг та X. Тогда
ф (0 ^ (/о - (r)г) t -j- Хо -\-kRfx (А)/(/04-ЯИ)2 X
Xsin(/0 + Xfl)f, (6.2.63)
где в подгоночном параметре R учитывается "эффективное" число членов в
сумме (6.2.62). Выражение (6.2.63) является основным приближением при
анализе движения в модуляционном слое. Коэффициент модуляционной диффузии
можно определить как
СМ-Мгпф^ДЯ.т]^, v (6.2.64)
где усреднение *) по /0 производится по всей стохастической области
|/0|<Ш. Подставляя сюда (6.2.58), получаем
. 2 / ш т
D(io2) = lim - -?г-( ,f dl0 f dr(c)2sin9(Hx г-*" 2T 2aQ \-%q -t
X j dt'(o2 sin ф (t') \ . (6.2.65)
-T / x"
Используя (6.2.63) и снова разлагая по функциям Бесселя, находим
sinф(0 = 2Л/(A)cos {[(/-{- 1)/0 + /Ш-о)г] t Хо)" (6.2.66а)
У
где
Aj(Io) - f i
(/о + Щ2
Интегрирование в (6.2.65) по t" дает
(6.2.666)
( й"!!1пфГ) = 2л/.(/.)со5х"7^т6 (л.+ЛМЬ-^).
_оо j
(6.2.67)
Интегрируя далее, сначала по /", а затем по f, получаем
с w -# ¦А' (^ттг-) <с"'Л>'
/
х) Усреднение по %о требует пояснения. Фактически важна разность фаз ф
(0) = Хо + я/2 [см. (6.2.63)], которая, как и /0, не является на самом
деле постоянной вследствие стохастического движения при перекрытии
