Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
размерности исходного фазового пространства. Изучение регулярного
движения в таких системах восходит к Ньютону и в дальнейшем было связано
с развитием теории обыкновенных дифференциальных уравнений. На этой
ранней стадии было выяснено, что траектория может притягиваться к таким
простым аттракторам, как неподвижные точки, замкнутые траектории и торы,
на которых устанавливается, соответственно состояние равновесия,
периодическое и квазипериоди-ческое движение. И только сравнительно
недавно, в пионерской работе Лоренца [2831, было показано, что и в
диссипативных системах встречается хаотическое движение. Лоренц обнаружил
такой аттрактор в модели, описываемой системой обыкновенных нелинейных
дифференциальных уравнений. Рюэль и Тэкенс [355 ] использовали для
аттрактора с хаотическим движением термин "странный аттрактор"1).
Топология странных аттракторов весьма примечательна. Она характеризуется
масштабной инвариантностью2), при которой структура аттрактора
повторяется на все более мелких пространственных масштабах. Такие
структуры, называемые фракталами, обладают любопытным свойством дробной
размерности, промежуточной между размерностью точки и линии, линии и
плоскости и т. д.
Когда геометрическая структура странных аттракторов была выяснена,
возникла качественная картина движения, важной особенностью которой
является близкое соответствие между движе-
х) В литературе уже отмечалась странность этого термина [74]. Для
современной эргодической теории подобный аттрактор является, напротив,
естественным. Его существование вытекает, в частности, из теоремы Аносова
[8] о структурной устойчивости хаоса для динамических систем
определенного класса, которые получили позднее название систем Аносова. С
другой стороны, упоминаемая ниже фрактальная структура хаотического
аттрактора не является универсальной, это может быть, например, и просто
тор.- Прим. ред.
2) В оригинале - geometric invariance (геометрическая инвариантность).-
Прим. перев.
20
Глава 1
ннем на странном аттракторе и движением, описываемым некоторым одномерным
необратимым отображением. Такие отображения не возникают непосредственно
из диссипативных потоков1), но являются важными примерами простых систем
с хаотическим поведением и находят приложение в таких разных областях,
как экономика и экология. При изменении параметра эти отображения
испытывают последовательные бифуркации, такие, что период предельного
цикла каждый раз удваивается. Бифуркации накапливаются при некотором
критическом значении параметра, выше которого движение становится
хаотическим. Фейгенбаум [122 J показал, что этот процесс является в
некотором смысле универсальным.
Однако фактически странные аттракторы появились впервые в трехмерных
потоках и связанных с ними двумерных отображениях. В этом случае также
имеет место последовательность бифуркаций с удвоением периода. Для
понимания поведения таких систем важно знать движение вблизи
сепаратрисных слоев и инвариантные распределения2). Несмотря на
соответствие между одномерными и двумерными отображениями, наше знание
последних недостаточно. Например, в настоящее время нет никакого метода
для отыскания перехода к странному аттрактору в многомерных системах.
Появление странных аттракторов в трехмерных потоках, таких, как модель
Лоренца, указывает на один из возможных механизмов возникновения
гидродинамической турбулентности. Это стимулировало исключительно точные
экспериментальные измерения вблизи перехода от ламинарного к
турбулентному течению в реальных жидкостях. Модель Лоренца была получена
фактически из задачи о конвекции Рэлея-Бенара в подогреваемом снизу слое
жидкости с учетом только трех мод движения. Хаотическое движение в
трехмерной модели Лоренца представляет возможную картину турбулентности и
в некоторых реальных гидродинамических системах, которая оказывается
проще, чем первоначальные представления Ландау [251 1. Динамика
диссипативных систем рассматривается в гл. 7, включая одномерные и
двумерные отображения, а также гидродинамические приложения.
*§1.2. Теория преобразований в механике
В этом параграфе дается краткий обзор основных понятий гамильтоновой
механики, необходимых для анализа динамики в фазовом пространстве.
Изложение материала близко к книге Голдстейна [156] (гл. 8 и 9) и
существенно опирается на курс Уиттекера [430]. Большинство длинных
доказательств опущено.
О Это не совсем так, первый пример такого отображения был построен еще
Лоренцем [283] (см. также [210] и п. 1.56).- Прим. ред.
2) То есть инвариантную меру на аттракторе.- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
21
* 1.2а. Канонические преобразования
Различные эквивалентные формы уравнений движения можно получить друг из
друга путем преобразования переменных. Одна из таких форм получается в
результате введения функции Лагранжа
L[q,q,t) = T{q)-U(q,t), (1.2.1)
где q и q - векторы координат и скоростей по всем степеням свободы, Т -
