Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ну = ftp2-2ау cos ф - 4ау cos 2ял cos ф. (6.2.11)
Здесь первые два члена определяют сепаратрису резонанса в плоскости (р,
у), а третий приводит к образованию тонкого стохастического слоя в ее
окрестности. Чтобы найти функцию ф (п) для
(6.2.11), будем исходить из уравнения (6.2.7), пренебрегая первым членом
в его правой части:
¦^г- = _ц-^-8т[0 + Ф(л)], (6.2.12)
ап ап
где 6 (п) определяется соотношением (6.2.8). Примем, далее, что на одном
полупериоде фазовых колебаний ф (п) определяется движением по
невозмущенной сепаратрисе (см. п. 1.3а) 1):
Ф1 (п) = 4 arctg (eayn) - я. (6.2.13)
Обозначив s = (оуп, Q0 = в>х/(йу и записав фазу %0 в (6.2.8) как Хо =
Qoso-я/2, получим из (6.2.12)
p.90Q0 f P(s)ds,
где
P(s) = cos[Q0(s + s0)] sin {e0sin[Q0(s +s0)]-f ф).
При 0O <C 1
P (s) = cos [Qo (s+ s0) 1 эшф, (6.2.14)
и мы приходим к интегралу Мельникова-Арнольда (п. 3.5а):
Si
т
2 ф (s) - Qos
(6.2.15)
S^m = 2 ^ COS
О
который понимается в смысле его среднего значения по sx при
х) Поясним, что получаемое таким образом регулярное асимптотическое
решение ф! (п), которое только и используется ниже для вычисления
скорости диффузии, не совпадает с решением ф (л) для подсистемы (6.2.11).
Различие между ними сводится к хаотизации ф (л), которая учитывается в
(6.2.19) неявно, со ссылкой на сепаратрисное отображение.- Прим. ред.
358
Глава 6
Sj-^oo. В рассматриваемом случае т = 2, и мы получаем
- у p06oQo sin (Q0s0) [зУ2 (Qo) (- Q0) ], (6.2.16)
где, согласно (3.5.18),
гФг (±Q0) = 4nQ0e±TO?o 2 /sh (jtQo)> (6.2.17)
В результате находим
Л#х = 4np0oQo sin (Q0s0) sh (nQ0/2)/sh (nQ0). (6.2.18)
Из свойств сепаратрисного отображения (п. 3.56) мы знаем, что величина
Q"s0 хаотизуется на полупериоде фазовых колебаний Ту. Усредняя по фазе
Q0s0, получаем
<(A^%=8nW(Q0)' (6-2-19)
где
F (Q0) = Qq/4 ch2 (nQ0/2). (6.2.20)
На рис. 6.9 приведен график функции К (Q0) с максимумом при Q0 " 1,3 и
довольно резким падением в обе стороны от максимума х). Так, например,
при изменении Q0 в 4 раза скорость диффузии уменьшается на два порядка по
сравнению с максимальной.
Для вычисления коэффициента диффузии необходимо найти средний полупериод
(Ту) колебаний в тонком стохастическом слое. Вблизи сепаратрисы
'Г 1 32
Ту = In -------- ,
СО у W
где w = (Ну-HJ/Hs С 1, a Hs - 2ау - энергия на сепаратрисе. Чириков [70]
показал, что (Ту) можно найти, усреднив Ty(w) по w в пределах
стохастического слоя | w \ <; Это дает
(Ту)-
1п(- ) + 1
(6.2.21)
При слабой связи р С ау для полуширины стохастического слоя и>1 можно
использовать соотношение (4.2.23).
Коэффициент диффузии в тонком слое равен
( (АЯЛ2).
?) = (6.2.22)
2 (Ту)
или с учетом (6.2.19) и (6.2.21)
D2 = 4я2р29о(ог/К (Q0)/ln (32 elwj. (6.2.23)
*) При Qo С 1 полученные выражения справедливы лишь при дополнительном
условии ТуЯ>х > 2л, или sy = соуТу > 2n/Q0 (см. рис. 3.20, в), т. е.
только в очень тонком стохастическом слое w1 < 32 ехр (- 2n/Q0).- Прим.
ред.
Многомерные колебания
359
На рис. 6.10 эта теоретическая зависимость (сплошные линии) сравнивается
с результатами численных экспериментов (треугольники). При счете
использовалось 100 траекторий с одинаковыми начальными условиями в
плоскости (а, х) и слегка различными в плоскости (|3, у) внутри тонкого
стохастического слоя. Теоретические кривые строились по формуле (6.2.23)
с эмпирическим зна-
Рис. 6.9. Функция (6.2.20) для диффузии в тонком слое.
чением w1 = 0,191. Как и в случае толстого слоя, теоретические значения
лежат несколько выше численных. Возможно, что это различие вызвано
неполной хаотизацией ф (п) на полупериоде фазовых колебаний в
стохастическом слое *).
6.26. Диффузия по резонансу связи
Аналогичным образом можно было бы вычислить скорость диффузии Арнольда и
по резонансу связи, например ах = а>у. Соответствующие довольно сложные
расчеты были выполнены Либерманом [273 ]. Здесь же, следуя работе
Чирикова [70 ], мы рассмотрим более простую модель, иллюстрирующую как
диффузию по резонансу связи, так и взаимодействие многих резонансов [72].
Гамильтониан этой модели имеет вид 2 2
Н = Т" + Т" + Т+ 41 "^ху-гх[ (0' (6-2-24)
Г Существенное снижение скорости диффузии по сравнению с оценкой
(6.2.23), особенно заметное на рис. 6.10, в, объясняется медленной
диффузией в относительно широкой периферической части стохастического
слоя, а также фазовыми корреляциями из-за конечной ширины слоя (см.
работу [70], § 7.2 и 7.6).- Прим. ред.
амакс a макс <*2макс
360
Глава 6
а
Рис. 6.10. Диффузия в тонком слое (по данным, работы 406]).
Обозначения и параметры те же, что и на рис. 6.8, кроме п - 2000; :
Ь ! = 100:
10 : 1,8.
Многомерные колебания
361
где t - время, а р и е - малые параметры. Эта система состоит из двух
нелинейных осцилляторов со слабой линейной связью (параметр а), причем на
один из осцилляторов действует периодическая внешняя сила е/(/). Нас
будет интересовать окрестность резонанса связи
в>х- та 0, (6.2.25)
где со* и (лу - невозмущенные частоты нелинейных осцилляторов.
