Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 127

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 942 >> Следующая

m-~oo q=\
Диффузия в толстом слое. Выберем начальные значения |3 и у внутри
толстого стохастического слоя, а а и х вблизи центра целого резонанса.
При отсутствии связи между степенями свободы (р. = 0) движение в
плоскости (а, х) происходит по инвариантной кривой (рис. 6.5). При
включении связи происходит медленная диффузия по а и х.
Перейдем к новым переменным |0 = kxx, ф = kyy, a=a/kx, Р = $/ky и
представим гамильтониан Н в виде суммы Н = Нх +НУ> где
Ну = -2ftlncosp-26х (н) av cos ф, (6.2.6а)
Нх да ha2-2ах cos 6 + р cos (0 + ф (н)). (6.2.66)
Здесь для удобства мы сохранили старые переменные а и |3 в новом
гамильтониане. В (6.2.66) использовано приближение - In cos а да a2/2 при
a2 < 1, 6, да 1 при со2 = 4ahk2 " 1, а ф считается явной функцией п.
Последнее допущение наиболее серьезно, поскольку при этом пренебрегается
влиянием связи на движение по у. В результате мы получили два
неавтономных гамильтониана с одной степенью свободы каждый х). Теперь
можно решить уравнение движения независимой подсистемы (6.2.6а) и найти
"стохастическую накачку" ф (п). Подставив ее в (6.2.66), найдем движение
в плоскости (а, 0), которое и дает диффузию Арнольда.
В толстом слое, где имеется много перекрывающихся резонансов, фаза ф
хаотизуется за время порядка одной итерации отображения 2). Поэтому с
хорошей точностью можно считать, что после-
*) В этом случае говорят иногда о полутора степенях свободы.- Прим.
ред.
2) Дело не в перекрытии резонансов, а в масштабе времени релаксации, в
качестве которого можно принять грубо обратную величину КС-энтропии.
Последнюю легко оценить, поскольку подсистема (6.2.6а) сводится локально
к стандартному отображению с параметром К = - 4ft/cos2|3. - Прим. ред.
Многомерные колебания
355
довательныезначения фазы <р являются случайными и независимыми, причем
переход между ними имеет характер "скачка". Изменение Нх определяется
уравнением Гамильтона
dHx = дНх dn дп
Используя (6.2.66), можно записать производную в виде
= -у- [р cos (6 + <р) ] - р ~ sin [0 + ф (п) ]. (6.2.7)
дп dn дп
Первый член в выражении справа описывает малые ограниченные колебания.
Считая колебания по 0 малыми
0 = 0ocos(cvz + )'o), (6.2.8)
где ю* = 2л/Т = 2kx (axh)xl2, проинтегрируем второй член в уравнении
(6.2.7) по периоду отображения: т-Н
АНх= J dnyQ0G)xsin [кря + Хо] sin [0 + ф (") ].
m
При со* С 1 подынтегральное выражение постоянно, поэтому
АНх = р0ою^ sin [ахт + Хо] sin [0 + ф (m) ]. (6.2.9)
Возводя это выражение в квадрат и усредняя как по %0, так и по ф,
получаем *)
<(АЯ^) = -1-р202(о2.
В результате находим скорость диффузии в толстом слое
Dx = -L ((АЯД2> = 4" ^20°V- (6-2-10>
Z о
С изменением Нх в процессе диффузии параметры р и со* остаются
постоянными. Величина же 0О растет с Нх, а вместе с ней и скорость
диффузии.
На рис. 6.8, а-в теоретические значения (сплошные линии) сравниваются с
результатами численного моделирования. Начальные условия для 100
траекторий были одинаковыми в плоскости (а, х) и случайными в пределах
толстого слоя плоскости (|3, у). Для каждой траектории просчитывалось 500
итераций отображения. Вычислялись среднеквадратичные значения
безразмерной энергии (а2) = [hr2( (А#*)2 ) н]|/2, которые и сравнивались
В Усреднение по фазе Хо, которая является постоянной интегрирования в
(6.2.8), требует пояснения. На самом деле усреднять нужно по траектории,
т. е. по времени т. Для иррационального со* при соxtn 1 это формально
эквивалентно усреднению по %0. Разумеется, диффузионный характер движения
связан только с присутствием случайной фазы ф (т), иначе колебания Нх
были бы квазипериодическими.- Прим. ред.
356
Глава 6
с теорией. На рис. 6.8 каждый треугольник представляет результат
усреднения четырех независимых (по начальным условиям) вариантов счета.
Согласие с теорией достаточно хорошее, хотя она И несколько завышает
систематически скорость диффузии. Это различие объясняется, возможно,
тем, что значения фазы ф (т) не полностью независимы.
Рис. 6.8. Диффузия в толстом слое (подданным работы [406]).
Сплошные линии - теория; треугольники - численные данные (статистический
рагброс для 100 траекторий лежит в пределах высоты треугольников); \x/h =
2 X I(r)""4; п = 500; : h ; ах = 100 : 10 : 1; Ку : h : ау = 100 : 10 : 1,7
(кроме переменных величин).
Многомерные колебания
357
Диффузия в тонком слое. В этом случае начальные условия на плоскости (а,
х) мы выбираем, как и в толстом слое, вблизи центра резонанса, а в
плоскости (Р, у) - в тонком стохастическом слое резонанса. Как и в
толстом слое, диффузия в плоскости (а, х) обусловлена слабой связью со
стохастическим движением в плоскости (Р, у). Однако скорость диффузии
оказывается значительно меньше.
Действуя прежним методом, мы оставим теперь, однако, в функции б х (п) в
(6.2.6а) только члены с</ = 0и</=1из разложения (6.2.5) [ср. (4.1.26)].
Используя, кроме того, приближение - In cos р " р2/2, р2 ~ ay!h <§( 1,
запишем гамильтониан (6.2.6а) в виде
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed