Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Многомерные колебания
351
плоскости (а, х). В частности, наблюдались переходы диффузии из одного
стохастического слоя (г/-резонанса) в другой (х-резо-нанса), а также в
толстый слой. Эти эффекты показаны на рис. 6.7 в проекции (а, |3) для х ж
у х 0. Траектория случайно блуждает по тонким и толстым слоям, проводя
большую часть времени в последних.
Лзберх'-'эет.ь сечения
f .. . i I i <
Начальные
условия
.V --= 3,5 X 10h
N = 107
d = kxx,
= kxx,f= kyy
Рис. 6.6. Диффузия в тонком слое (по данным работы [406]).
h = 0,004; отношения kY : h : ог и 'h.. : h : а., равны 100 : 10:2.
Это, однако, еще не все. Вспомним, что система резонансных поверхностей
является всюду плотной в пространстве переменных действия. Рассмотрим,
например, резонанс связи
т2(йу = 0,
где 0)^., соу - частоты колебаний, а mlt т2 - целые числа; на рис. 6.7
показан резонанс, соответствующий т-у = -т2. Стохасти-
352
Глава 6
ческий слой этого резонанса также является составной частью паутины
Арнольда. Для начальных условий в этом слое и х да у " О быстрые
колебания шарика по оси г кажутся вначале устойчивыми. Однако это не так.
После достаточно большого числа отражений мы можем обнаружить, что шарик
движется почти вдоль стенок. В типичном случае диффузия идет вначале по
резонансу связи,
5 X 107
Рис. 6.7. То же, что и на рис. 6.6 в проекции на плоскость (а, (3) (по
данным работы [276]).
д- и к 0: 5 X 107 итераций.
затем по тонким стохастическим слоям и, наконец, по толстым слоям. При
этом шарик лишь изредка будет возвращаться в окрестность начального
положения вблизи х = у = 0, поскольку подавляющая часть паутины Арнольда
состоит из толстых стохастических слоев. Остальные же области вроде
резонансов связи, где движение кажется регулярным, составляют
пренебрежимо малую (но всюду плотную!) часть стохастической паутины. Эта
удивительная картина является характерной для диффузии Арнольда.
Многомерные колебания
353
§ 6.2. Скорость диффузии вдоль резонансов
Первые теоретические оценки диффузии Арнольда были получены Чириковым
[68, 70 ] и его сотр. 1). Теннисон и др. [406 ] и Либерман [273 ]
рассчитали скорость диффузии для модельной задачи, описанной в п. 6.16.
Теоретический анализ основан на разделении исходной системы с тремя
степенями свободы на две подсистемы, каждая из которых рассматривается в
первом приближении независимо. Мы будем называть такой подход моделью
стохастической накачки 2) . В простейшем случае при этом учитывается
взаимодействие только трех резонансов. Пусть, например, ведущий резонанс,
вдоль которого идет диффузия Арнольда, связан, скажем, со степенью
свободы 2. Взаимодействие между степенями свободы. 1 и 2, описываемое
гамильтонианом
Н±(1Ъ /2> Si. 0г) ~ const, (6.2.1)
приводит к интенсивному хаотическому движению поперек стохастического
слоя ведущего резонанса. Взаимодействие же между степенями свободы 2 и 3
с гамильтонианом
Н и (/а, 73> е2. 03) ^ const (6.2.2)
вызывает более слабую диффузию Арнольда. Подсистемы (6.2.1) и (6.2.2)
рассматриваются последовательно. Сначала из (6.2.1) находятся величины 02
(t) и /2 (t), характеризующие движение в стохастическом слое. Затем они
подставляются в (6.2.2), что дает возможность найти стохастическое
изменение /3 (t), определяющее диффузию Арнольда.
Основная трудность при использовании этого метода состоит в выяснении,
какие именно резонансы определяют диффузию вдоль и какие--поперек
стохастического слоя. В случае трех резонансов ведущим можно считать
любой из них, что просто определяет область начальных условий движения.
Наиболее сильный из оставшихся задает диффузию поперек слоя, а более
слабый вызывает диффузию Арнольда 3).
* 6.2а. Расчет диффузии в модели стохастической накачки
Покажем, как оценить скорость диффузии Арнольда на примере системы,
описываемой отображением (6.1.12). Мы рассмотрим три различных режима
диффузии с последовательно уменьшающейся скоростью. Первый режим
соответствует диффузии по а вдоль толстого стохастического слоя в
плоскости (Р, у). Диффузия происходит вследствие связи со случайным
движением по у. Второй режим
х) См. работу [146].- Прим. ред.
2) Stochastic pump model. Этот механизм, по-видимому, впервые
обсуждался кратко в работе [139].- Прим. ред.
3) Обсуждение такого "распределения ролей" между резонансами см. в
работе [70, § 7.2].- Прим. ред.
354
Глава 6
аналогичен первому, за исключением того, что диффузия по а идет вдоль
тонкого стохастического слоя {/-резонанса. Наконец, третий режим отвечает
диффузии вдоль резонанса связи.
Найдем прежде всего гамильтониан для отображения (6.1.12). Как и в п.
3.1в, преобразуем разностные уравнения (6.1.12) в дифференциальные с
помощью 6-функции. В результате получаем неавтономный гамильтониан с
двумя степенями свободы:
Н (а, х, р, у, п) = - 2/ilncosa- 2/ilncos(3- 261(п)С(х, у), (6.2.3)
где
С(х, у) = ах cos kxx -у ау cos k,i) - (1/2) a cos (kxx -f kyy), (6.2.4)
оо CO
б^п)^ S 6 (n - m) - 1 +2 2 c°s(2n7H7). (6.2.5)
