Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Системы с тремя и более степенями свободы отличаются двумя существенными
особенностями:
1. Стохастические слои пересекаются друг с другом, образуя в фазовом
пространстве единую всюду плотную "паутину".
2. Сохранение энергии не препятствует движению вдоль слоев в пределах
энергетической поверхности. Поэтому за достаточно большое время
траектория, переходя от слоя к слою, охватывает всю энергетическую
поверхность, подходя сколь угодно близко к любой ее точке.
Основной механизм внутренней диффузии вдоль стохастических слоев
называется диффузией Арнольда по имени открывшего ее В. И. Арнольда [12].
Диффузия Арнольда является универсальной в том смысле, что не существует
критической величины возмущения, необходимой для ее возникновения, хотя
скорость диффузии стремится к нулю при уменьшении возмущения. Численные
исследования проведены во многих работах (см., например, [68, 139-143]);
сравнение с теоретическими моделями в простейшем случае взаимодействия
трех резонансов обсуждается в работах [68, 70, 146] х).
Хотя обычно диффузию Арнольда рассматривают в отсутствие перекрытия
резонансов 2) [70], похожая диффузия происходит
и при перекрытии группы резонансов, причем в последнем случае скорость
диффузии резко возрастает 3). Хорошей иллюстрацией обоих режимов является
модельная задача о колебаниях шарика между плоской и периодически
гофрированной в двух направлениях стенками. Эта система, похожая на
отображение Улама с дополнительной степенью свободы, была исследована
Теннисоном и др. [406].
Ч См. также работу [475].- Прим. ред.
%) Имеются в виду первичные резонансы.- Прим. ред.
3) Однако она перестает быть универсальной, т. е. появляется порог по
возмущению (см. ниже п. 6.2г).- Прим. ред.
342
Глава 6
Примером диффузии вдоль слоя перекрывающихся резонансов является
модуляционная диффузия (п. 6.2г). В этом случае медленные колебания одной
из основных частот приводят к появлению "боковых" резонансов, которые
могут перекрываться в определенной области параметров. Эта диффузия не
универсальна, т. е. существует определенная величина возмущения, ниже
которой боковые резонансы не перекрываются. Интересно отметить, что
перекрытие возможно, даже если частота модуляции мала по сравнению с
модулируемой частотой. Этот результат, казалось бы, противоречит
интуитивному представлению об адиабатическом поведении в таком случае х).
Возможно, что модуляционная диффузия существенна для динамики пучков в
накопительных кольцах [211, 404] а).
Диффузия вдоль стохастических слоев может быть связана не только с
внутренней динамикой системы, но и с внешним шумом, эффект которого
значительно усиливается на резонансах (§ 6.3). Подобная диффузия
рассматривалась Чириковым [71 [ и Теннисо-ном [405]. Важным примером
диффузии в многомерной системе в присутствии шума является движение
частиц в тороидальных магнитных полях. Мы рассмотрим эту задачу в § 6.4 и
проведем сравнение теоретических выводов с результатами численного
моделирования.
В § 6.5 кратко обсуждаются системы с очень большим числом степеней
свободы, среди которых есть примеры как регулярного, так и
стохастического поведения.
* 6.1а. Геометрия резонансов
Рассмотрим интегрируемую систему с N степенями свободы, гамильтониан
которой имеет вид
Я0 =//"(/),
где /-Л'-мерный вектор переменных действия. Движение в 2М-мер-ном фазовом
пространстве (/, 0) происходит по поверхности M-мерного тора и
определяется iV-мерным вектором фаз 0, канонически сопряженным вектору /:
/(9 =/о, 0 (/) = to (/) t ц- 0О, (6.1.1)
где со j (/) = dHJdl j - невозмущенные частоты.
Пространство переменных действия. На рис. 6.1 представлено "Я-мерное"
пространство переменных действия. Невозмущенная
См. примечание редактора на с. 367.- Прим. ред.
2) Следует различать модуляционную диффузию вдоль резонансов
многомерной системы (п. 6.2г) от понижения порога перекрытия и
последующей диффузии поперек резонансов вследствие низкочастотной
модуляции в системе. Обе цитированные работы относятся именно ко второму
(более простому) эффекту, который рассматривался также в работах [68,
467]. - Прим. ред.
Многомерные колебания
343
энергетическая поверхность определяется в этом пространстве с помощью
условия #0 (/) = а. Если, например,
N
я 0 = 1 /?,
/=1
то эта поверхность является сферой.
(6.1.2)
Рис. 6.1. Пространство переменных действия невозмущенного гамильтониана
(6.1.2) (по данным работы [276]).
Показаны энергетические поверхности (сферы) н резонансные поверхности
(плоскопнН
Определим (N-1)-мерную резонансную поверхность посредством условия
т •")(/) = 0, (6.1.3)
344
Глава 6
где т называется вектором резонанса и имеет целочисленные компоненты. Так
как ш может быть любым, то резонансные поверхности всюду плотны в
пространстве переменных действия. Для квадратичного гамильтониана (6.1.2)
несколько резонансных поверхностей показано на рис. 6.1.
Рассмотрим теперь влияние малого периодического по 0 возмущения:
