Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 118

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 942 >> Следующая

Р(и, п) ¦
12 и
ехр
6 и2
п
(5.4.19)
Оно справедливо, конечно, лишь до тех пор, пока траектории не начнут
проникать в область ud>us. Решение полной задачи с учетом переходной
области с островками устойчивости оказывается очень сложным, и его можно
получить только численно.
Хотя рассмотренная задача представляет сильно идеализированную модель,
аналогичные результаты можно найти и для реальных динамических систем.
Примером может служить задача об электрон-диклотронном нагреве в
магнитных ловушках. Она подробно исследована Егером и др. [212] и
Либерманом и Лихтенбер-гом [275]. Было показано,
Рис. 5.11. Сравнение распределений по скорости Р (и) (по данным работы
[274 ]). Сплошная кривая - упрощенное отображение Улама (3.4.4);
пунктирная кривая - точное отображение Улама (3.4.1); Л4 = 10;.
что нагрев можно приближенно описать системой уравнений, аналогичной
(3.4.8).
5.4г. Корреляционные поправки к коэффициентам переноса х)
В п. 5.46 коэффициенты переноса были получены в приближении хаотических
фаз на одной итерации отображения (Ап = 1). Однако, как было отмечено в
п. 5.4а, уравнение ФПК справедливо
В В оригинале - higher-order transport corrections (поправки высшего
порядка к коэффициентам переноса). Принятый в переводе термин более явно
отражает природу этих поправок.- Прим. перев.
326
Глава 5
только при Ап > пс, где пс - число итераций, за которое происходит
перемешивание по фазе. Поэтому необходимо оценить поправки к
коэффициентам переноса за счет корреляций на интервале Ап ~ пс.
Впервые такие поправки были получены для стандартного отображения
Речестером и Уайтом [345] и другим методом Речестером и др. [346]. Однако
их техника использует введение дополнительного внешнего шума, и мы
отложим ее обсуждение до следующего параграфа. Как показано в работе [3],
эти же методы можно использовать и без введения шума.
Хотя такая техника применялась пока только к довольно простым системам
типа стандартного отображения, она является весьма интересной, и мы
изложим ее достаточно подробно, следуя Абарбанелю. Он показал также [2 ],
что этот же метод можно применить к задаче о взаимодействии частицы с
волной большой амплитуды (п. 2.26). Поскольку, как обсуждалось в п. 4.16
(см. также [272 ]), стандартное отображение локально описывает широкий
класс систем, можно надеяться, что полученные для него результаты будут
качественно применимы и в более общем случае.
Представление Фурье. Для одной итерации стандартного отображения
Д/х = К sin 0О (5.4.20)
и коэффициенты переноса равны

A/1d0o= 0, (5.4.21а)
о
= ~- j" (А/ 1)2d0o = • (5.4.216)
2 4л 0J 4
Это приближение часто называют квазилинейным х).
Для получения корреляционных поправок вычислим коэффициент диффузии
<(Д/")">/ , е
Dn=----------------д_. (5.4.22)
2 п
Введем вероятность W перехода /0, 0О In, бп за л итераций. Тогда D"=^-
fW(In, 0", я| /", 0", 0)(In-Io)2dIndQn. (5.4.23)
2 п
0 Множитель 1/2 в уравнении ФПК (5.4.5) включен здесь в определение
квазилинейного коэффициента диффузии.
Стохастическое движение и диффузия
327
Нам потребуется свойство рекуррентности:
W(I, 0, п\10, 0О, 0) = J dl'dQ'W (/, 0, п\Г, 0', п- 1)х
X W(I\ 0', л-11 /0, 0", 0), (5.4.24)
где из уравнений отображения
Г(/, 0, п\Г, 0', п-1) = 6(/-/' - Ksine')6(0-0' - /'-К sin0').
(5.4.25)
Вычисление Dn непосредственно из (5.4.23) - (5.4.25) быстро становится
слишком громоздким. Такую процедуру можно провести для п = 2; она
приводит к интересным осцилляциям D2 в зависимости от /0, хотя и не ясно,
какое значение мог бы иметь этот эффект. Для больших я необходимо найти
метод, который становился бы проще с ростом я. Как мы увидим, это можно
сделать с помощью фурье-представления.
Представим W в виде ряда Фурье по 0 и интеграла Фурье по /:
W (/, 0, я|/0, 0О, 0) =2j dqexp(imQ + iqI)an(m, q), (5.4.26)
m
где коэффициенты ап зависят также от /0 и 0О.
Нас интересует значение Dn при больших я. Поскольку /"
растет как л/п, то для я " 1 в (5.4.23) можно сохранить только
" /2.
член с,1п:
Dn = S dddlPW (/, 0, n|/0?e0, 0). (5.4.27)
После подстановки (5.4.26) в (5.4.27) и интегрирования по 0 остается
только член с m = 0. Замена /2 на - d2el4lldq2 и двойное интегрирование
по частям (по q) приводит к выражению
Dn = - [ dqdleiql [an (0, q)]. (5.4.28)
2 n J dq2
Интеграл по I дает 2лб (q). После интегрирования no q получаем
Dn =-----4л^ д*ап (0, q)_ | ^ (5.4.29)
2fi бд2 19=о
Выведем теперь рекуррентное соотношение для ап, которое потребуется нам
для вычисления (5.4.29). Из (5.4.26)
an(m, q) = -1-j dQdl ехр (-imQ-iqI)W(I, 0, я|/0, 0O, 0).
(2л)2
(5.4.30)
Для п = 0 положим
W =6 (/ - /0) 8 (0-0О), (5.4.31)
ао = -тЦгехр(-iql0--im%). (5.4.32)
(2n)2
328
Глава 5
При н>О, подставляя (5.4.24) в (5.4.30), получаем
ап(т, q) =---Jd0d/exр(-imQ-iql)x
(2я)2
х (dQ'dl'b (I - /' - К sin 0') 6 (0 - 0' - I' - К sin 0') x
X \ dq'^ехр^т'д'+ iq/r)a"^1{tn', q). (5.4.33)
m'
Интегрируя no 0 и Г, находим
an (m, q) = -!- V f dq'dQ'dIa"(m\ q') x
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed