Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
В = dtyAu = 0, D = j' dty (Ли)2= -, о о 12
где А и (ф) = ф-1/2.
Этот результат, полученный в приближении случайных фаз 1), сравнивается
на рис. 5.10 с численными данными по зависимости D от п при различных
начальных значениях скорости и. Значения D
Г
Рис. 5.10. Зависимость коэффициента диффузии D от времени для отображения
(3.4.4) (по данным работы [274]).
М= 101; 103 траектории с различными начальными условиями: сплошные кривые
- однородное распределение по фазе; пунктирная кривая - Дф =10 и = 30.
находились по 1000 траекториям отображения (3.4.4) с М = 10*, что
соответствует tis = 50. Для и = 10, 20, 30, 40 и однородного начального
распределения траекторий по фазе вклад корреляций
J) Этот популярный, но неудачный термин означает на самом деле не просто
случайность фазы ф, но еще и полную статистическую независимость ее
последовательных значений ф (га), что эквивалентно условию пс ~ 0.- Прим.
ред.
Стохастическое движение и диффуеия
323
оказывается пренебрежимо малым, и D (и, п) --- D (и, 1) -- 1 12. Однако
для и = 50 корреляции существенно влияют на зависимость D от п даже при
">200. При и = 60 наблюдается другой эффект, связанный с тем, что часть
траекторий оказывается в устойчивых областях и не дает вклада в диффузию.
Наконец, в случае неравномерного начального распределения по фазе
наблюдается некоторый переходный процесс, показанный пунктирной кривой на
рис. 5.10 для и = 30 и начальной ширины распределения
Аф = 10_3. Оценка (5.4.10) дает в этом случае пс яэ 3,
что соот-
ветствует по порядку величины данным рис. 5.10.
При учете смещения стенки величины и, г[; не являются каноническими
переменными (п. 3.4а). Перейдем поэтому к каноническим переменным Д, 0.
Для функции распределения по "энергии" Е = и2 уравнение ФПК имеет вид
~ ~ (ВР) + ФР), (5.4.11)
дп дЕ 2 дЕ~
где
В (Е) = -I AEWtd (АД), (5.4.12)
Ап '
5(Д) = - I'(ЛД)2ГД (АД); (5.4.13)
Ап
здесь Wt - вероятность перехода (см. п. 5.4а). Из (3.4.2а) и определения
Д получаем (- F' = /; Ап = 1):
АД = 2Д'V -г/2.
Для случайных и независимых значений канонической фазы 0 вероятность
Wtd (АД) = -,
v ' 2л
а из (3.4.2в)
dtyc = № Д-1/з/Дфс.
Если, кроме того, функция / (фс) нечетна по фДто
В=-Е- hf2d^c (5.4.14)
2я
-я
Аналогичные вычисления дают
Ъ = -2- " (4Д/2 З/4) еЫрс. (5.4.15)
2я -л
Для отображения (3.4.4) / = т|)с/2я, откуда В = 1 6 и D = Д/3 +
324
Глава 5
+ 3/80, что удовлетворяет соотношению (5.4.8). Обратный переход к
переменным и, гр дает
D = D/4?, B = - D)/(2?Vj).
Выражения В = (24ц)-1 и D = 1/12 были получены впервые Израйлевым и
Ждановой [209 ] непосредственно из точного отображения (3.4.1) х).
Отметим, что соотношение (5.4.8) в этом случае не выполняется из-за
неканоничности переменных и и гр. Более детальное описание дано в работе
Лихтенберга и др. [272].
* 5.4в. Стационарные и нестационарные решения
Для получения стационарного решения уравнения ФПК введем полностью
отражающие стенки при и = 0 и и = us. Буквально, это, конечно,
неправильно из-за проникновения траекторий в область иГ>и5. Однако
поскольку этот процесс происходит медленно, то можно ожидать, что для
значений и, достаточно малых по сравнению с иь, решение с выбранными
граничными условиями будет близко к истинному. Положив в (5.4.5) д/дп =
0, найдем решение в виде
U
Р(и)= Р (и0) D (ц0) D-1 (и) ехр I 2В (и') D-1 (и') du'. (5.4.16)
"о
Для В = 0 и D = 1/12 распределение оказывается однородным Р (и) = const,
а для В = (24ц)-1 и D = 1/12 - линейным: Р(и)=Си. Эти результаты
согласуются с численными экспериментами Либер-мана и Лихтенберга ([274 ],
рис. 12) и Израйлева и Ждановой, ([209], рис. 3). На рис. 5.11
представлены численные результаты [274 ] для упрощенного (сплошная
кривая) и точного (пунктирная кривая) отображений Улама с / = лр-1/2.
Отклонения распределений от ожидаемых в области ц<Щ = 7И1/2/2 л; 16
связаны с недостаточной для установления квазиравновесного состояния
длительностью счета, а также с просачиванием траекторий в область больших
скоростей. С ростом и (ц>ц5) островки устойчивости быстро становятся
преобладающими. Для точного отображения при переходе к каноническим
переменным Е, 0 получаем однородное распределение Р (Е) = Р (и) (du/dE) =
const.
В некоторых случаях можно также найти решение и нестационарного уравнения
ФПК. Для упрощенного отображения Улама D = 1/12, В = 0 и (5.4.5)
переходит в обычное диффузионное уравнение
J)P_ = J_JPP__ (5.4.17)
__________ дп 24 Эм2
1) Небольшое различие между D = 1/12 и точным выражением D =
= 1/12 + 3/320 Е [см. (5.4.15)] есть поправка второго порядка к скорости
диффузии опять-таки из-за неканоничности переменных и, ф в (3.4.1).
Обычно такая поправка не учитывается.- Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
325
В случае точного отображения, подставляя в (5.4.5) D = 1/12, В = (24")-1,
получаем
дР
дп
J_____
24 ди
и
ди
(5.4.18)
Решение этого уравнения с начальным условием Р (и, 0) = б (и) имеет вид
