Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 116

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 942 >> Следующая

1 " Ап " (. (5.4.4)
\ Р du /
Тогда можно разложить PWf по первому аргументу. С точностью до членов
второго порядка по Аи получим
Р(и - Аи) Wt (и - Аи) = Р(и) Wt(u)- d{PWt) Аи +
ди
1 d2(PWt)
2 ди2
(Ап)
2.
Подставляя это выражение в (5.4.3) и учитывая нормировку \Wt(u, п, А и,
An)d(Au)=l, находим уравнение ФПК
дР д (BP)---^г(ПР), (5.4.5)
дп ди 2 ди2
где средняя скорость *)
В(и) = -!-\AuWt(u, п, А и, An)d(Au), (5.4.6)
Ап "
а коэффициент диффузии
D(") = - UAufWt(u, п, А и, An) d (An). (5.4.7)
An
Соотношение между коэффициентами переноса. Следуя Ландау [250], покажем,
что для гамильтоновых систем2)
- -. (5.4.8)
2 du
J) Имеется в виду скорость изменения переменной и. В оригинале - friction
coefficient (коэффициент трения) - менее удачный термин, поскольку такое
"трение" существует и в гамильтоновых системах.- Прим. ред.
2) Впервые соотношение такого рода было получено Эйнштейном в теории
броуновского движения (см., например, [505], § 21). В работе Ландау
использовался принцип детального равновесия, который не всегда
выполняется даже и в автономной гамильтоновой системе (см. [506]). Вывод
в в тексте основан на независимости вероятности перехода от фазы ф
(аналогично работе Крылова и Боголюбова, см. [447], т. 2, с. 5).
Поскольку и, ф - канонические переменные, то в последнем случае
равновесное Р (и) = = const, и (5.4.8) сразу следует из (5.4.5). Такой
метод получения коэффициента В оказывается наиболее удобным (см.,
например, [505, 464]). Значение соотношения вида (5.4.8) состоит в том,
что прямое вычисление В возможно только во втором порядке теории
возмущений, в то время как для D достаточно первого порядка.- Прим. ред.
320
Глава 5
Это позволяет записать уравнение ФПК в виде дР д / D дР \
/ D дР \ \ 2 ди )
дп ди \ 2 ди
Для доказательства (5.4.8) запишем изменение и с точностью до членов,
квадратичных по А
Отсюда для А и = и (t At) - и (t) во втором порядке по A t имеем
Остальные члены исчезают из-за периодичности Н по if. Аналогично во
втором порядке по At:
Сравнивая выражения для <ДиС, и <(Аи)2)ф, получаем соотношение (5.4.8).
Условия применимости уравнения ФПК. Вероятность перехода Wt зависит,
конечно, не только от переменной действия и, но и от фазы яр. Однако при
достаточно большом Ап > пс, где пс - время
и (t -j- At) = "(/) + и At -f -L и (Atf,
где
и =
дН
<34?
и =--------------------------яр----------------------и-----------------
<3яр2 дуди (ЗярЗЗ
д2Н • д2Н * д2Н
Из уравнений Гамильтона получаем
д2Н дН , д2Н дН д2Н д
и=----------------4----------------Г-------= - -
дф2 ди dipdu <3яр Зяр^ 34?
дН дН (34 ди
дН дН , дН_
)
34 ди ' dt
Усредняя по яр, получаем
(А и)2 - и2 (А02 =
Усреднение по яр дает
Стохастическое движение и диффузия
321
релаксации функции распределения по фазе, можно усреднить по ф: Wt {и, ф)
-v Wt (и) = (Wt (и, ф)>ф.
Для выяснения условий такого приближения найдем прежде всего направления
собственных векторов системы (5.4.2), используя линеаризованное
отображение (см. п. 3.36) с матрицей
Ч-р ч>
где р = 0Л4/ы2. Для собственных векторов получаем
(Аи, Аф) ос (/Д Я1? 2-1), (5.4.9)
где собственные значения даются выражением (3.3.52). При ~ I РГ I Д 1
собственный вектор растяжения направлен почти по фазе (/' ~ 1). Последнее
условие выполняется тем лучше, чем меньше и по сравнению с us =
(6Л4)1/2/2.
Для оценки пс предположим, что начальное распределение сосредоточено в
узком интервале Аф (0), а Аи (0) = 0. Тогда, Аф (и) " 7"Дф (0) " р"Аф
(0). Положив Аф (пс) ~ 0, найдем
(5.4.10)
In р
т. е. пс слабо зависит от начального распределения. Напротив,
распределение по и остается локализованным в пределах Аи (пс) ~ Q/Xx ~
(и!us)2 " и. Поэтому можно ожидать, что при Ап " пс эволюция
распределения Р(и) описывается уравнениемФПК1) с коэффициентами ВиОиз
(5.4.6) и (5.4.7). Остаточные корреляции, однако, сохраняются по крайней
мере в течение одного периода отображения. Их влияние будет рассмотрено в
п. 5.4г.
Для u^>us существуют островки устойчивости, движение в которых не
описывается уравнением (5.4.5). Для стохастической же компоненты,
окружающей островки, простое усреднение по ф уже неприменимо, поскольку
при данном и допустимы не все значения фазы.
* 5.46. Коэффициенты переноса
Вычислим коэффициенты переноса (5.4.6) и (5.4.7) и сравним их с
результатами численного моделирования. Для отображения Улама
(3.4.4) в простейшем случае2) n = An = 1, и в предположении
J) Фактически для этого нужно (см. примечание редактора на с. 317), чтобы
корреляционный масштаб времени пс был бы много короче диффузионного
масштаба пр> ~ u2!D ~ и2 [D ~ /2 ~ 1, см. (5.4.2)]. Поскольку и S7 us ~
M'V и пс ~ 1, грубое условие диффузионного описания есть М > 1.- Прим.
ред.
2) Формально при этом нарушается первое условие (5.4.4), однако оно нужно
только для перехода к дифференциальному уравнению (5.4.5), но не для
вычисления D.- Прим. ред.
322
Глава 5
о равнораспределении по фазе получаем
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed