Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
максимальный показатель Ляпунова аг можно получить аналитически. Для
стандартного отображения при больших К это было сделано Чириковым [70].
Линеаризовав стандартное отображение вблизи некоторой точки, не
обязательно неподвижной, получим из характеристического уравнения при
больших К наибольшее из двух собственных значений в виде
Я+ = /С | cos 0 |. (5.3.7)
Так как вся фазовая плоскость считается стохастической, то величина ох (и
К) определяется просто усреднением In Я+. В данном случае это
эквивалентно усреднению по 0 и дает
ох = -!- Г In| К cos0 |d0 = In- • (5.3.8)
2п |j 2
Этот аналитический результат сравнивался с численным значением оп,
полученным для начальных условий на стохастической компоненте. При К ~ 6,
когда еще можно ожидать количественного согласия с (5.3.8), Чириков
получил *) ап/а1 = 1,02.
Как мы видели в § 4.1, в стандартном отображении островки устойчивости
существуют при сколь угодно больших К• С увеличением к эти островки
уменьшаются, но поскольку они могут существовать вокруг периодических
точек произвольно большого периода, то возникает вопрос, не занимают ли
они значительную часть фазовой плоскости, что привело бы к неправильному
значению КС-энтропии (5.3.8) даже для больших К- Чириков исследовал этот
вопрос двумя методами. В первом квадрат 2л X 2л разделялся на 100 х 100
ячеек и вычислялась доля ps ячеек, в которые попадала траектория с
начальными условиями на стохастической компоненте. Ясно, что такое
"огрубление" может давать правильные результаты только для относительно
малых значений К, когда
В Более полные аналитические и численные данные по КС-энтропии для
различных отображений приведены в работе [731.- Прим. ред.
312
Глава 5
островки устойчивости достаточно велики. Во втором методе выбиралось
некоторое число, скажем N - 100, траекторий со случайными начальными
условиями и определялась доля рг тех из них, для которых численное
значение КС-энтропии близко к нулю. Естественно ожидать, что ps + рг ж 1.
Результаты этих численных экспериментов представлены в табл. 5.1. Чириков
пришел к заключению, что мера устойчивых областей с увеличением К
стремится к нулю х), так что при больших К возможно простое
статистическое описание движения.
Таблица 5.1. Численное определение меры стохастической (щ) и регулярной
(аг) компонент стандартного отображения (по данным работы [70], табл.
5.3)
К 8,888 6,59 6,21 5 4 3 2 1 | 0,5
Vs - - - 0,98 0,92 0,89 0,79 0,44 -
Vr < 10~4 0,0099 0,004 0,014 0,08 0,11 0,19 0,52 0,96
5.36. Численные методы
Удобным практическим критерием стохастичности в заданной области фазового
пространства служит численное определение показателей Ляпунова.
Максимальный показатель о1 широко использовался в качестве критерия
стохастичности в ряде работ (см., например, [19, 41-43, 73, 133, 371 ]).
Вычисление Ранее было показано (п. 5.26), что о (х, w0) = = о х (дс) для
почти всех касательных векторов wQ. Поэтому для вычисления а1 начальный
вектор w0 можно выбирать произвольно. Интегрируя совместно уравнения
(5.2.6) и (5.2.7), находим величину
d (0 = | w (*) [,
где для удобства принято d0 = d (0) = 1. Трудности возникают в том
случае, когда | w | растет экспоненциально, что приводит к переполнению и
другим численным ошибкам. Чтобы избавиться от этих неприятностей, выберем
определенный интервал времени т, как показано2) на рис. 5.6, и будем
перенормировывать
1) Согласно данным работы [73], цг ~ ехр (- Сл/К), где С ~ const, за
исключением специальных значений К, близких к (4.1.14).- Прим. ред.
2) Фактически на рис. 5.6 показан другой метод вычисления Oj - по двум
близким траекториям системы (5.2.6), а не по одной траектории и
линеаризованному уравнению (5.2.7), как в тексте. Использование
линеаризованного уравнения имеет то преимущество, что его решение не
зависит от модуля | w |. Однако в некоторых специальных случаях удобнее
интегрировать две траектории (см., например, [470]).- Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
313
| w | на единицу в конце каждого такого интервала х). Таким способом
будем последовательно вычислять величины
тФ)--
\ Wk-1 (т) I,
Wk-1 (Т)
dk
(5.3.9а)
(5.3.96)
где Wk (т) получается интегрированием (5.2.6), (5.2.7) на интервале т с
начальными значениями х {kx), Wk (0). Если ввести величину
оп--
X In di,
i= I
Гу n*i
(5.3.10)
Рис. 5.6. Схема вычисления максимального показателя Ляпунова (по данным
работы [19]).
у = х + w, т - конечный интервал времени.
то из (5.2.8) получаем
cr1 = lim ап. (5.3.11)
П~+ оо
Для регулярного движения сз1 = 0, в то время как на стохастической
компоненте с^Х) и не зависит от х. Описанный метод применим как для
непрерывных траекторий, так и для отображений.
Следуя работе Бенеттина и др. [19], проиллюстрируем использование этого
метода на примере модели Хенона-Хейлеса (п. 1.4а). На рис. 5.7 приведена
зависимость ап от пт для шести траекторий с энергией Е = 0,125 (см. рис.
1.13). Три траектории {1-3) находятся, очевидно, в области устойчивого
