Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 110

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 942 >> Следующая

стандартным выражением 3)
м
Н = -nS Pi Inрг.
i=i
Максимум энтропии достигается для разбиения с pi = \!М и равен
Н т = nlnM.
Сдвиг Бернулли можно задать простым отображением:
хп+1 = Мхп, mod 1.
При этом каждая итерация дает новый член последовательности Бернулли. КС-
энтропия этого отображения легко вычисляется и равна h = In М, а Нт = hn.
Таким образом, КС-энтропия определяет скорость роста Нт со "временем" п.
При /г-"- оо энтропия Нт неограниченно возрастает.
Общая картина взаимосвязи между различными свойствами случайного движения
представлена на рис. 5.4. Стрелки между прямоугольниками указывают
направление импликации. Так, например, К-системы обладают свойствами
перемешивания и эргодичности4). Наиболее сильные статистические свойства
динамической
Н Это - так называемая символическая траектория.- Прим. ред.
2) Это не очень удачный пример, поскольку подбрасывание монеты не
является чисто динамическим процессом. Пример сдвига Бернулли в
динамической системе см. ниже в тексте и (5.2.32).- Прим. ред.
3) Это выражение заимствовано из теории вероятностей и справедливо при
условии, что попадания траектории в различные ячейки статистически
независимы. Динамическая система называется бернуллиевской, или сдвигом
Бернулли, если она обеспечивает выполнение этого условия для некоторого
определенного разбиения (фазового пространства), которое тоже называется
бернуллиевским. Хотя это свойство кажется на первый взгляд очень сильным
(максимальным?), на самом деле это не совсем так из-за сингулярности
бернуллиевских разбиений в большинстве случаев (см. [497]).- Прим. ред.
4) В дополнение к связям на рис. 5.4 отметим, что система Аносова
является также и бернуллиевской, точнее - всякий перемешивающий поток
Аносова с гладкой инвариантной мерой является бернуллиевским [498, 499].-
Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
305
случайности *) расположены в верхней части рисунка, а наиболее слабые -
внизу. Основная характеристика каждого свойства приведена справа, а
примеры соответствующих систем-слева.
Системы, близкие к интегрируемым, такие, как модели Хенона- Хейлеса или
ускорения Ферми, для которых характерно наличие
Рис. 5.4. Взаимосвязь между различными статистическими свойствами
случайного движения.
областей как регулярного, так и стохастического движения, не обладают в
полной мере ни одним из свойств, перечисленных
*) Согласно современной алгоритмической теории динамических систем [448],
которая кратко обсуждается ниже в п. 5.2г, свойство случайности лежит как
бы в другой плоскости. Формально алгоритмическая случайность эквивалентна
положительности КС-энтропии (Л> 0), т. е. это свойство слабее К-свойства
(см. прим. ред. на с. 301). Однако оно обладает иным качеством: полностью
исключает возможность динамического описания системы ввиду принципиальной
непредсказуемости отдельных траекторий.- Прим-ред.
306
Глава 5
на рис. 5.4. Однако вблизи гомоклинных точек движение локально
эквивалентно преобразованию пекаря, что приводит к случайному поведению
типа сдвига Бернулли. Кроме того, как мы увидим в §5.3, результаты
численного моделирования убедительно показывают, что стохастические
компоненты в таких системах (например, стохастический слой) имеют
положительную КС-энтропию, а следовательно, и определенные статистические
свойства.
5.2г, Случайность и ее численное моделирование
Случайные последовательности. В каком смысле поведение детерминированной
динамической системы может оказаться случайным? Прежде всего значительные
усилия были направлены на выяснение смысла самого понятия случайности
[233, 338] (популярное изложение см. в работе [61 ]) 1). Интуитивно ясно,
что случайная последовательность некоторых символов не должна подчиняться
никакой закономерности. Можно придумать различные тесты, например на
частоту появления определенных символов в последовательности, пар
символов и т. д., которые должна выдерживать случайная
последовательность. В том случае, если последовательность выдерживает все
тесты, ее можно считать "случайной"2).
Современное определение случайности основывается на том, что информация,
заключенная в случайной последовательности, не может быть "сжата", т. е.
представлена в более компактной форме. Так, не существует правила
вычисления случайной последовательности, которое было бы существенно
короче, чем просто ее копирование. Эти идеи можно формализовать следующим
образом. Определим вначале минимальную длину программы (число бит) Кс
вычисления N бит последовательности SN на некоторой ЭВМ. Величина Кс
зависит от ЭВМ, но ее можно представить в виде суммы
К с = К n (*5) + Сс,
где Сс > 0 зависит только от ЭВМ, но не от SN, а сложность (S) зависит
только от последовательности SN. Ясно, что значение сложности заключено
между некоторой постоянной (любая программа должна иметь хотя бы одну
команду) и максимальным
КТг (S) = N,
когда ЭВМ просто копирует заданную последовательность.
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed