Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
характеристика одной стохастической компоненты движения. В этом случае
значения а,- не зависят от дг и интеграл по Ж равен единице. Отсюда
h - Z at- (5.2.25)
о, >о
Для автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы
положительным может быть только аг, откуда
h = a1. (5.2.26)
При другой интерпретации [19] соотношение (5.2.24) относится ко всей
(компактной) области фазового пространства. В этом случае для системы с
двумя степенями свободы h определяет скорость
экспоненциальной расходимости близких траекторий, усредненную по всей
выбранной области фазового пространства. На регулярных компонентах
движения = 0. Положим для простоты, что на всех стохастических
компонентах а1 одинаково и равно сд. Тогда из
(5.2.24) получаем
h=№lt (5.2.27)
где ps - суммарная мера стохастических компонент. В § 5.3
мы
увидим, как использовать эти соотношения для численного
опреде-
ления КС-энтропии, а также в качестве критерия стохастичности.
г) Если не только h> 0, но и hA > 0 для любого конечного разбиения {Л;
(0)}, то движение обладает К-свойством [378], которое оказывается, таким
образом, более сильным, чем положительность КС-энтропии. Грубо говоря, К-
система характеризуется однородностью процесса перемешивания.- Прим. ред.
302
Глава 5
Следует, однако, отметить, что, вообще говоря, разные стохастические
компоненты имеют различные значения ах. Поэтому, применяя соотношение
(5.2.24) к целой области фазового пространства,
Рис. 5.3. Отображение Арнольда на т ре (по данным работы [14]).
Область "кот" А трансформируется в ТА затем в НА.
надо брать правильное среднее значение av
Системы Аносова х). Эти системы введены и изучались Аносовым [8, 9 ]. Они
характеризуются линейным касательным пространством, которое разлагается
на три компоненты:
1) составляющая вдоль траектории с нулевым показателем Ляпунова;
•, 2) поперечное пространство, в котором траектории расходятся
экспоненциально со скоростью, ограниченной снизу равномерно по начальным
условиям и времени;
3) поперечное пространство, в котором траектории сближаются
экспоненциально со скоростью, ограниченной * сверху, и тоже равномерно по
начальным условиям 2) и времени.
Это очень сильные условия, и гамильтоновы системы, близкие к
интегрируемым, никогда им не удовлетворяют. Системы Аносова структурно
устойчивы [8], т. е. при действии малого возмущения они остаются
системами Аносова.
Рассмотрим свойства этих
*) В оригинале C-systems, т. е. (У-системы. Это менее распространенный
сейчас термин, который ввел Аносов - автор этих систем. Буква У
происходит от слова условия, которым должны удовлетворять эти системы;
они перечислены ниже в тексте.- Прим. перев.
2) Имеются в виду начальные условия как в касательном, так и в
основном фазовом пространстве. В приведенном виде условия относятся
только к обратимым во времени системам, подробнее см. [8, 9, 14].- Прим.
ред.
Стохастическое движение и диффузия
303
систем на простом, хотя и нефизическом примере, который часто
используется математиками. Следуя Арнольду, возьмем отображение Т на торе
вида
С;г:М1 2) (yi)' m°d <5-228>
Отображение Т совпадает со своим касательным отображением А, причем det А
= 1, т. е. оба отображения сохраняют площадь. На рис. 5.3, взятом из
[14], показано преобразование тора вместе с изображением знаменитого
арнольдовского кота. Ясно видно расслоение фазового пространства и
перемешивание. Используя результаты п. З.Зв, найдем собственные значения
и векторы этого отображения. Из характеристического уравнения
1 2-К
получаем собственные значения
Я1.а=--±^5 , (5.2.29)
а из уравнения (3.3.7) - собственные векторы
(5.2.30)
Растяжение происходит вдоль направления а сжатие - вдоль ортогонального
направления ?2. При этом, конечно, = 1 /А2, что следует просто из
сохранения площади. Чтобы подчеркнуть экспоненциальный характер
растяжения, можно записать собственные значения в виде
Ьь2 = е±а, (5.2.31)
где <т = In [(3 + 5)/2] одинакова для всех начальных условий.
Поэтому показатель Ляпунова (дг) = сг>0 и не зависит от х. Следовательно,
отображение (5.2.28) является системой Аносова, а значит [378 ], и К-
системой. Его энтропия
h = ах = In [(3 + V5 )/2].
Сдвиги Бернулли. В качестве заключительного примера рассмот* рим системы,
называемые бернуллиевскими. Пусть фазовое про-странство разбито на М
ячеек, каждая из которых помечена сеоим символом щ и характеризуется
вероятностью pt попадания в нее траектории движения. Предположим, что
состояние системы ме-
304
Глава 5
няется каждую секунду. Тогда динамическое движение описывается некоторой
последовательностью символов 4). Рассмотрим теперь такое отображение,
которое сдвигает любую последовательность на один элемент влево.
Например, подбрасывая монету, мы получаем последовательность вида 2)
0111011...,
где символы 0 и 1 соответствуют двум сторонам монеты. Для сдвига Бернулли
с числом символов М значение энтропии последовательности длины п дается
