Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 107

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 942 >> Следующая

величине: > сг2 > • ¦ • > °м-
В частном случае периодической траектории уравнения (5.2.7) задают
некоторое линейное отображение на периоде т, которое
можно записать в виде
Wn+1 = Awn. (5.2.10)
Как было показано в § 3.3, матрица А имеет М собственных значений, вообще
говоря, комплексных:
I \ | > I ^2 I => • • ¦ > I I •
Обозначим соответствующие собственные векторы через ei. Тогда для w0 = ei
из (5.2.10) следует
wn = Kei. (5.2.11)
Отсюда, согласно (5.2.8), получаем
a(?i) = -- In i Kt- j = crf. (5.2.12)
T
Кроме того, из (5.2.11) следует, что для w0 = c-,e1Jr . . .
Стохастическое движение и диффузия
297
динамика вектора wn определяется первым ненулевым коэффициентом ci. Если,
например, сг Ф 0, то a (w") = сг1( а если сх = О, но с2 Ф 0, то сг (w0) =
вгит. д. Иначе говоря, каждый показатель Ляпунова определяет скорость а в
некотором подпространстве с размерностью на единицу меньшей, чем
предыдущий. Следовательно, для почти всех w значение сг = стх. Это
свойство иллюстрируется на рис. 5.2, б.
Обобщение понятий собственных значений и собственных векторов на
непериодические траектории было дано Оселедецем [323]. Возможность такого
обобщения связана с тем, что непериодические траектории можно приближать
периодическими с достаточно большим периодом.
Для любой непрерывной траектории, заданной дифференциальными уравнениями
[например, (5.2.6) ], по крайней мере один из показателей Ляпунова,
соответствующий собственному вектору вдоль траектории, равен нулю. В
случае гамильтоновой системы показатели обладают следующей симметрией:
О; = ^2N-i+1' (5.2.13)
где 2N = М, a N - число степеней свободы. Для периодической траектории
это соотношение можно получить из симметрии собственных значений
(3.3.21). Отсюда вытекает, в частности, что у гамильтоновой системы по
крайней мере два показателя Ляпунова равны нулю. Однако на энергетической
поверхности (М = 2N-1) один из них, соответствующий смещению
перпендикулярно поверхности, отсутствует.
Обобщенные показатели Ляпунова. Показатели Ляпунова для векторов w
называют также показателями первого порядка. Оселедец [323 ] обобщил это
понятие *) для описания средней скорости экспоненциального роста /^-
мерного объема Vр, построенного на векторах wlt . . . , wp (р < М). Тогда
величина
1 i" Vp(x", t)
а (*0, vp) = lim - 1п Т^ГоГ <5-2-14>
t -*-оо
есть показатель Ляпунова порядка р. Оселедец [323], а также Бенеттин и
др. [20] показали, что ст(р> (jc0, Vp) выражается через сумму р
показателей первого порядка. Аналогично тому как для почти всех w
справедливо соотношение а (х0, w) = Oi (х0), так и для почти всех Vp
величина а(р) определяется суммой р наибольших показателей
(T(p> = (Ti -fa2-f . . . ф а p. (5.2.15)
Это соотношение используется для численного определения пока-
*) Обобщенные показатели Ляпунова использовались и ранее, см., например,
[378, 496].- Прим. ред.
298
Глава 5
зателей Ляпунова (см. § 5.3). При р = М получаем среднюю скорость
экспоненциального роста фазового объема:
м
<t(JU)=2 а,(*о). (5.2.16)
1=1
Для системы с инвариантной мерой (в частности, для гамильтоновых систем)
м
^ Oi (х0) = о,
i=i
в то время как для диссипативной системы эта сумма должна быть
отрицательной (см. § 7.1).
Отображения. В случае М-мерного отображения
хп+1 = F (дсг") (5.2.17)
выражение для аот получается из (5.2.8) заменой t на п. Вместо этого
можно ввести собственные значения Я; (л) матрицы
А" = [М (х") ¦ М (xn-i) ¦ . . MMU, (5.2.18)
где М = дР/дх- матрица Якоби для Р. Тогда показатели Ляпу-
нова равны
a°T = limlnj Я,(л) |. (5.2.19)
П-*оо
Показатели Ляпунова для (М-1)-мерного отображения на поверхности сечения
Пуанкаре пропорциональны показателям, для непрерывной траектории в М-
мерном фазовом пространстве:
tf°T(*o) = TOi (*о)> (5.2.20)
где t = l М-1 ("лишний" показатель для траектории равен
нулю). Коэффициент пропорциональности т равен среднему интервалу времени
между последовательными прохождениями траектории через поверхность
сечения. В случае автономной гамильтоновой системы (М = 2N) размерность
отображения есть М-2, и, таким образом, исключаются оба нулевых
показателя исходной системы.
5.2в. Основные свойства стохастичности
Перемешивание. Понятие перемешивания является по существу очень простым.
Возьмем сосущ, содержащий, например, 20 % рема и 80 "о пепси-колы, причем
вначале распределение рома в сосуде произвольно, скажем, сплошной слой.
Если теперь начать размешивать жидкость, то естественно ожидать, что
после достаточно длительного размешивания любой сколь угодно малый объем
жидкости будет содержать "приблизительно" 20 % рома. Формализация
подобного процесса и приводит к понятию перемешивания
Стохастическое движение и диффузия
299
Перемешивание подразумевает некоторое "огрубление" фазового пространства,
т. е. исследование его малых, но конечных областей *).
Можно показать [14], что перемешивание влечет за собой эргодичность.
Однако обратное неверно: из эргодичности не следует перемешивание. Это
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed