Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Jn+x = Jn, 0"+1 = 0" + 2лос. (5.2.5)
Интересным примером подобных всюду плотных, но не эргодических траекторий
является диффузия Арнольда (см. п. 6.1а).- Прим. ред.
2) На эргодические компоненты (см. ниже).- Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
а
m
хохохохохо
6
Рис. 5.1. Эргодические свойства отображения поворота.
а - две периодические траектории (X и С.) с рациональным числом вращения
a (J) =* = 2/5; эргодичность иа инвариантной кривой J = const
отсутствует; б - начальная функция распределения f (в, 0), для которой
временное среднее f (0,/) зависит от 0; в - эргодическое движение иа
инвариантной кривой с иррациональным числом вращения <х, однако "серые" и
"темные" траектории не перемешиваются.
294
Глава 5
Оно изображено на рис. 5.1, а для а = 1/5 (рациональное число) н двух
начальных условий (кружки и кресты). Выбрав / (0), как показано на рис.
5.1, б, легко видеть, что / = 0 для кружков и / = /о для крестов. Таким
образом, движение в этом случае не эрго-дично. Для иррационального а
траектория покрывает всю окружность и f (л;) = (/) = /0;2, т. е. движение
является эргодическим на окружности.
Отображение (5.2.4) соответствует движению интегрируемой гамильтоновой
системы на инвариантном торе (0Ь 02). Можно сказать, что это движение
эргодично на торе, но не эргодично во всем фазовом пространстве. Из
рассмотренного примера квазине-риодического движения ясно, что
эргодичность еще не означает стохастичность. С другой стороны, наше
определение эргодичности позволяет считать эргодическим стохастическое
движение и в некоторой ограниченной области фазового пространства,
например в стохастическом слое. Однако такое определение может оказаться
не очень удобным в том случае, когда область стохастичности содержит
много островков устойчивости *).
* 5.26. Характеристические показатели Ляпунова
Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и
диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую количественную
меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между
показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как
энтропия Колмогорова (п. 5.2в) или фрактальная размерность (п. 7.1в).
Грубо говоря, показатели Ляпунова характеризуют среднюю скорость
экспоненциальной расходимости близких траекторий. Такая характеристика
стохастичности была введена Хеноном и Хейлесом [188] 2) и в дальнейшем
исследовалась Заславским и Чи-риковым [444], Фрёшле и Шейдекером [141-
143] и Фордом [133].
Теория показателей Ляпунова [262] использовалась для анализа
стохастического движения Оселедецем [323]. Связь показателей Ляпунова с
энтропией Колмогорова рассматривалась Бенет-тином и др. [19] и была
установлена Песиным [334]. Метод вычисления показателей Ляпунова развит
Бенеттином и др. [20] и описан в § 5.3. Здесь же мы обсудим их свойства,
следуя в основном
0 Все эти разнообразные случаи охватываются общим понятием эргодической
компоненты движения. Под эргодичностью же в физике понимается, как
показывает само название, эргодичность на энергетической поверхности.-
Прим. ред.
2) Речь идет об использовании этого свойства в численных
экспериментах. Общие соображения о связи случайности с экспоненциальной
неустойчивостью движения высказывались еще Пуанкаре [489]; эта связь была
строго доказана в работах Хедлунда [490] и Хопфа [491] и/широко
использовалась Крыловым [241].- Прим. ред.
Стохастическое движение и диффузия
295
работам Бенеттина и др. [18-20]. Математические доказательства можно
найти в цитированной литературе.
Пусть динамическая система задана уравнениями
"' = !.. • •, М. (5.2.6)
dt
Рис. 5.2. Характеристические показатели Ляпунова (по данным работы [18]).
а - две близкие расходящиеся траектории; *i> (t) = Ах (t) - касательный
вектор; б - касательное пространство, построенное на собственных векторах
и е2 с показателями Ляпунова <5\ и сг2; для любого вектора w,
непараллельного е2, о (а>0) = ^1" а Для w> ua" раллельного е2, о (w0) =
а2 < dj.
296
Глава 5
Рассмотрим две близкие траектории с начальными условиями
х0 и лг0 + Адг0 (рис. 5.2, а). Их временная эволюция задает каса-
тельный вектор Алг (лг0, t) с длиной
^ (*^о" 0 ~ I Ад* (*^о" О I •
Для удобства введем обозначение W = Ад:. Динамику w можно определить,
линеаризуя уравнения (5.2.6):
- =М (*(*))•"", (5.2.7а)
dt
где
М = (5.2.76)
дх
¦- матрица Якоби для V. Введем среднюю скорость экспоненциальной
расходимости близких траекторий:
а(*0, w0) = lim -i- In d (*°' . (5.2.8)
t-*-cc t d {Xq, 0)
d( 0)^0
Можно показать, что предел скорости о существует и она ограничена. Далее,
существует полная система М фундаментальных решений {е,-} уравнений
(5.2.7а), для каждого из которых скорость <т имеет определенное (вообще
говоря, различное) значение:
Ot {х0) = сг (дс0, вг). (5.2.9)
Это и есть характеристические показатели Ляпунова. Они не зависят от
выбора метрики фазового пространства [323], и их можно упорядочить по
