Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 10

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 942 >> Следующая

развиты для решения широкого круга задач нелинейной механики Н. М.
Крыловым, Н. Н. Боголюбовым и их школой (см., например, [242) и [447, т.
1 ]).- Прим. ред.
14
Глава 1
коротком интервале времени. Появление квантовой теории значительно
стимулировало эти исследования. Так, резонансная теория возмущений,
позволяющая учесть локальное резонансное взаимодействие между двумя
степенями свободы, была сформулирована уже на заре квантовой механики
[34]. Классическая теория возмущений, а также более современный формализм
Ли (см., например, [102]) будут рассмотрены в гл. 2.
Важный вопрос, на который не смогла ответить ранняя теория возмущений,
был вопрос о длительной устойчивости Солнечной системы. Преобладало
мнение, что движение планет является "регулярным" (квазипериодическим) и
в конечном счете может быть вычислено при помощи новых математических
методов. Это мнение подкреплялось известными решениями задачи двух тел и
других простых механических задач, а также интерпретацией
палеонтологических данных, которые наводили на мысль о регулярности
движения Земли вокруг Солнца в течение сотен миллионов лет.
Противоположный вгляд на механические системы со многими степенями
свободы был выдвинут Больцманом при попытке понять поведение разреженных
газов. Он считал, что движение молекул следует рассматривать как
случайное, причем каждой молекуле доступна вся энергетически разрешенная
область фазового пространства. Эта точка зрения известна как эргодическая
гипотеза, ставшая основой классической статистической механики. Она была
с успехом использована при объяснении многих наблюдаемых свойств
вещества.
Первую попытку численной проверки эргодической гипотезы Больцмана для
системы с умеренным числом степеней свободы предприняли Ферми, Паста и
Улам [127], которые использовали модель в виде цепочки нелинейно
взаимодействующих сосредоточенных масс. К их удивлению, численные
эксперименты не подтвердили ожидаемое стохастическое движение модели.
Это глубокое противоречие между существованием интегрируемых систем, с
одной стороны, и эргодических, с другой, было симптомом некоторой
фундаментальной нерешенной проблемы классической механики. Определенный
вклад в разрешение этого противоречия внес Пуанкаре: он
продемонстрировал, что в окрестности неустойчивых неподвижных точек
движение имеет чрезвычайно сложный характер. Это был первый намек на то,
что регулярные силы могут порождать стохастическое движение в нелинейных
колебательных системах. Впоследствии Биркгоф [29] показал, что при
рациональном отношении частот для двух степеней свободы (резонанс) всегда
существуют как устойчивые, так и неустойчивые неподвижные точки.
Резонансы все более высокого порядка и более мелкого масштаба
последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к
образованию "цепочки островов". Было установлено, что ряды теории
возмущений не описывают такие резонансы.
Общий обзор и основные представления
15
Хотя работы Пуанкаре и Биркгофа продемонстрировали чрезвычайную сложность
топологии фазового пространства, вопрос об эргодичности движения, т. е. о
том, покрывает ли траектория всю энергетически доступную область фазового
пространства или же она ограничена какими-то интегралами движения,
оставался до недавнего времени без ответа. Теорема Колмогорова [229],
доказанная при различных ограничениях Арнольдом [10] и Мозером [308]
(теорема КАМ), утверждает, что при возмущении интегрируемых систем
инвариантные поверхности сохраняются для большинства начальных условий.
Хотя движение вблизи сепаратрисы каждого резонанса и является
стохастическим, оно ограничено соседними инвариантными поверхностями и не
является эргодическим. В гл. 3 мы рассмотрим теорию КАМ и связанные с ней
топологические результаты, которые служат обоснованием многих методов,
описанных в этой книге.
Наряду с достижениями теории возмущений и другими математическими
результатами, одной из основных побудительных причин возрождения интереса
к нелинейной механике было изобретение цифровой ЭВМ. Уже с самого начала
использование ЭВМ для интегрирования уравнений движения было соединено с
методом сечения Пуанкаре, при котором такое интегрирование М-мерных
уравнений заменяется итерацией соответствующего (N-1)-мерного
отображения. В результате оказалось возможным наблюдать за движением
системы в фазовом пространстве в течение сотен тысяч колебаний.
Обнаруженные уже в первых экспериментах удивительно тонкие
пространственные структуры движения быстро привлекли внимание как
теоретиков, так и экспериментаторов. Отсюда две основные особенности
нашего изложения материала: мы существенно опираемся на результаты
численного моделирования, с одной стороны, и на соответствие между
непрерывным движением (М-мерным потоком) и его дискретным (N-1)-мерным
отображением Пуанкаре - с другой (см. гл. 3). Центральным моментом нашего
описания динамики является численный эксперимент, который считается, как
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed