Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
знак, не обращаясь в нуль. Если вы ему скажете без предварительной
подготовки: "Нет, все это не очевидно. Необходимо, чтобы я вам это
доказал", - и если в своем доказательстве вы опираетесь на посылки,
которые не кажутся ему более очевидными, чем заключение, то что же тогда
подумает этот бедняга? Он решит, что математическая наука является лишь
произвольным скоплением
22
Логика и интуиция в математической науке и преподавании
бесполезных премудростей. Тогда либо ему это надоест, либо он будет
забавляться этим как игрой, и придет к образу мыслей, характерному для
греческих софистов.
Напротив, когда ученик станет более продвинутым, ознакомится с
математическими рассуждениями, а разум его созреет благодаря этому
знакомству, сомнения возникнут сами собой, и ваше доказательство придется
кстати. Оно пробудит новые сомнения, и вопросы у ребенка будут возникать
один за другим, как они возникали у наших отцов, до тех пор, пока его не
станет удовлетворять лишь абсолютная строгость. Недостаточно сомневаться
во всем, необходимо знать, почему сомневаешься.
Это еще не все. Я уже говорил, что с точки зрения чистой логики остается
лишь одно основное понятие - целого числа, - а все другие понятия
являются только комбинациями. Но можно придумать целое множество подобных
комбинаций. Почему эти, а не другие? Выбор объясняется лишь памятью об
интуитивном понятии, место которого занимает данная комбинация. Если эта
память отсутствует, выбор покажется необоснованным. Так, чтобы понять
теорию, недостаточно констатировать, что ведущий к ней путь не прегражден
препятствием; необходимо отдавать себе отчет в причинах, которые
заставляют выбрать этот путь. И вообще, можно ли говорить о понимании
теории, если желать сразу же придать ей окончательную форму, диктуемую
безупречной логикой, так, чтобы и следа не осталось от блужданий, которые
к ней привели? Нет, это не называется понять по-настоящему, такую даже и
не запомнить, разве только наизусть.
Основная цель математического преподавания - развить некоторые умственные
способности, и интуиция среди них занимает не последнее место. Именно
посредством интуиции математический мир взаимодействует с миром реальным.
И даже если чистая математика смогла бы без нее обойтись, то к ней все
равно приходилось бы прибегать, чтобы заполнить пропасть между символами
и действительностью. Таким образом, практики всегда будут нуждаться в
интуиции, а на одного чистого геометра должно приходиться 100 практиков.
Однако и для чистого геометра самого по себе интуиция необходима:
посредством логики доказывают, но придумывают посредством интуиции. И
недостаточно критиковать чужие теоремы, нужно придумывать новые.
Недостаточно уметь составлять правильные комбинации, необходимо обладать
искусством выбирать между всеми возможными
Логика и интуиция в математической науке и преподавании
23
сочетаниями. Выше я уже говорил, почему именно интуиция учит нас этому
искусству. Без нее геометр был бы подобен писателю, в совершенстве
владеющему грамматикой, но лишенному идей.
Но как бы эта способность развивалась, если, стоит ей показаться на свет
божий, ее настойчиво преследуют и изгоняют, если учат не доверять ей,
даже не разобравшись еще, что хорошего можно из нее извлечь?
Разве искусство рассуждать правильно не является важнейшим качеством,
которое учитель математики должен развить прежде всего? Я и не думаю
забывать об этом, и этим следует заниматься с самого начала. Однако,
хватает возможностей учить начинающих правильным рассуждениям в тех
областях математики, где неудобства, о которых я говорил, отсутствуют.
Существует целый ряд теорем, в которых абсолютная логика воцарилась с
рождения, естественнейшим образом, если так можно выразиться; которые,
тем самым, сохранили форму, приданную им первыми геометрами.
То, чего следует избегать, это придирок к мелочам в изложении основных
принципов. Они не мешают научиться правильно рассуждать, если только
позаботиться о том, чтобы не подать ученикам ложные идеи. Иногда для
этого необходимо много такта со стороны учителя. А часто достаточно
просто сказать (как я объяснял выше): "мы принимаем" вместо "очевидно,
что".
Среди молодых людей, получающих полное математическое образование, одни,
вероятно, станут инженерами. Они изучают геометрию для того, чтобы ею
пользоваться. Прежде всего необходимо, чтобы они научились хорошо и
быстро понимать. И именно в интуиции они нуждаются в первую очередь.
Другие - их меньше - в свою очередь, возможно, станут учителями.
Следовательно, им необходимо дойти до сущности. Углубленное и точное
знание основных принципов необходимо для них прежде всего. Но это не
причина не развивать у них интуицию, так как они создали бы себе ложное
представление о науке, рассматривая ее только с одной стороны. И кроме
того, им бы не удалось развить у своих учеников качество, которого они
сами лишены.
Я написал довольно большую статью о достаточно абстрактном и общем
