Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
рассуждениях, которые нас самих удовлетворяют.
Но каким образом мы добились строгости? Путем ограничения в науке роли
интуиции и усиления роли формальной логики. Прежде употреблялось
множество понятий, рассматриваемых как основные, априорные и интуитивные.
Таковыми были понятия целого числа, дроби, непрерывного роста,
пространства, точки, линии, поверхности и т.д. На сегодняшний день лишь
одно понятие осталось основным - понятие целого числа. Все другие понятия
являются только комбинациями, и такой ценой достигается полная строгость.
20
Логика и интуиция в математической науке и преподавании
Наши отцы вписывали в плоскую фигуру ряд прямоугольников и в качестве
предела суммы площадей этих прямоугольников получали интеграл, равный ее
площади. Действительно, говорили они, разность между искомой площадью и
суммой стремится к нулю, т. к. можно сделать эту разность меньше, чем
любое заданное число. Такие рассуждения проводились без особой
тщательности, так как отцы наши полагали, что хорошо понимают, что такое
площадь. Нас же, напротив, такое рассуждение не удовлетворяет, так как
нам известно, что эти понятия нельзя впитать с молоком матери; и
невозможно узнать, что такое площадь, не пользуясь интегральным
исчислением. Мы больше не доказываем, что площадь равняется интегралу, а
рассматриваем интеграл как определение площади. Понятие площади,
основанное когда-то на интуиции, само по себе не кажется нам уже
правомочным.
С другой стороны, математические понятия приобрели столь совершенную
чистоту только за счет удаления от действительности. Можно пересечь всю
страну математики и не встретить ни единого препятствия из рассекавших ее
в былые времена. Но эти препятствия не исчезли, они лишь передвинулись к
границам. И нам придется заново преодолевать их, если мы захотим пересечь
границы, чтобы войти в практические области.
Понятие было раньше более или менее расплывчатым, образованным из
несвязных элементов, одни из которых априорные, а другие получены
обобщением опытных данных. Его основные свойства полагались интуитивно
известными. В настоящее время все эмпирические элементы отвергаются,
допускаются лишь априорные. Для определения берется одно из свойств, а
все остальные выводятся из него строгими рассуждениями. Однако остается
доказать, что свойство, служащее определением, действительно отвечает
реальности, которая нам известна из опыта, откуда неосознанным обобщением
раньше и выводилось интуитивное понятие. Это очень хорошо показал М. Мило
в работе, которую он защитил на гуманитарном факультете в Париже.
Вот в каком направлении развивалась наука последние полвека.
Тогда и появилась целая куча вычурных функций, которые, казалось бы,
старались как можно меньше походить на общеупотребительные функции,
служащие определенным целям. Всюду разрывные, или же непрерывные, но
нигде не дифференцируемые... Более того, с точки зрения логики, именно
эти странные функции являются наиболее общими; напротив, те функции,
которые встречаются сами по себе и
Логика и интуиция в математической науке и преподавании
21
следуют простым законам, оказываются лишь очень частным случаем, и для
них отводится самый дальний уголок.
В былые дни, когда изобретали новую функцию, следовали какой-нибудь
практической цели. Сегодня их придумывают нарочно для того, чтобы найти
пробелы в рассуждениях наших отцов, и ни для чего больше.
Итак, если логика должна быть нашим единственным путеводителем в вопросах
образования, то, очевидно, нужно начинать преподавание с самых вычурных
функций. Начинающего нужно в первую голову ознакомить с этой
кунсткамерой. Иначе он никогда не достигнет желанной строгости, а если и
достигнет, то лишь мало-помалу.
Вот на что осудила бы нас абсолютная логика. Должны ли мы принести ей
такую жертву? Таков вопрос, на который я, со своей стороны, не колеблясь,
отвечаю - нет.
Преподавателю, без сомнения, трудно обучать рассуждению, которое не
полностью его удовлетворяет. И на его взгляд, сказать "мы принимаем", или
"часто бывает, что", вместо "очевидно, что", будет не более чем
малопригодным паллиативом.
Однако удовлетворение педагога не является единственной целью в процессе
обучения, и необходимо, прежде всего, поставить перед собой вопрос о том,
что представляет собой ум ученика и во что желательно его развить.
Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного за очень
короткое время повторяет всю историю развития данного рода. По-видимому,
умственное развитие также проходит подобные стадии. Задача учителя
состоит в том, чтобы провести разум ребенка тем путем, которым проходил
разум его отцов, ускоряя определенные этапы развития, но не пропуская ни
одного из них. В этом отношении, история науки должна быть нашим
проводником.
Когда ученик начинает серьезно изучать математику, он полагает известными
понятия дроби, непрерывности, площади криволинейной поверхности. Он
считает очевидным, например, что непрерывная функция не может поменять
