Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
провести явный анализ решения интегрального уравнения. Естественное
обобщение этого метода позволяет Пуанкаре обратиться к важному случаю,
когда ядро f(x, у) становится бесконечным, но некоторое итерированное
ядро fn(x, у) остается конечным. Фредгольм показал, что решение
существует; но в его формулах остался общий множитель в числителе и
знаменателе, который далее можно устранить с помощью модифицированной
резольвенты. Эта резольвента получается очень просто - вычеркиванием
определенных членов из резольвенты Фредгольма.
Далее изложены некоторые частные результаты для случая, когда f(x, у) и
все итерированные ядра становятся бесконечными, и лекция заканчивается
рассмотрением двух особых интегральных уравнений первого рода, приводимых
к уравнениям Фредгольма при помощи интеграла и ряда Фурье.
Применение теории интегральных уравнений к движению жидкости. В этой и
последующей лекциях рассматриваются типичные и важные примеры из области
математической физики, приводящие к уравнениям Фредгольма.
Первая задача - определить движение жидкости в море с изменяющейся
глубиной на вращающейся земле под влиянием периодических возмущающих сил.
Если пренебречь силами притяжения, возникающими при перемещении воды, то
получится неоднородное линейное дифференциальное уравнение в частных
производных второго порядка с двумя независимыми переменными. Это
уравнение и рассматривается в лекции. Когда море окружено вертикальной
стеной, применяется метод Еильберта и Пикара для построения ядра или
функции Ерина соответствующего интегрального уравнения, которое является
уравнением первого рода. Тогда к уравнению можно применить метод Келлогга
или метод интегрирования в комплексной плоскости, предложенный Пуанкаре,
который заменяет данное интегральное уравнение на эквивалентное уравнение
второго рода. Если берег моря невертикальный, то соответствующая прямая
является сингулярной для дифференциального уравнения. Теперь необходимо
принять во внимание вторую линию (критическую широту). Снова может быть
выполнено аналогичное приведение последовательностью из трех шагов. Таким
образом дока-
Геттингенские лекции Пуанкаре
205
зывается существование решения в обоих случаях. Наконец, показано, что
никаких новых затруднений не возникает, если не пренебрегать притяжением
вследствие перемещения воды.
Применение теории интегральных уравнений к волнам
Герца. Пуанкаре исследует явление криволинейного распространения волн
Герца по земной поверхности, которые объясняют возможность передачи
радиограмм на значительные расстояния. Это явление связано с большой
длиной волны Герца по сравнению с длиной световой волны,
распространяющейся по прямой. Проводятся количественные математические
рассуждения. Рассматривая землю как внешний проводник и передатчик как
внутренний и учитывая затухающие синхронные колебания, можно получить
интегральное уравнение второго рода для определения плотности
электрического заряда д, индуцируемого на поверхности земли. Однако это
приводит только к теореме существования. Пуанкаре доводит задачу до
практического результата, получая приближенное выражение для д; этот
метод зависит от разложения по /л в полиномах Лежандра и использования
асимптотических формул. Оказывается, что кривизна растет с увеличением
длины волны и уменьшением расстояния от передатчика до земли1.
Приведение абелевых интегралов и теория фуксовых функций. Если дана
система S абелевых функций, которая приводима с помощью второй системы
S', и если как S, так и S' возникают из алгебраических кривых С и С', то
существует множество алгебраических соответствий между группами точек на
кривых. Рассматривается только тот случай, в котором одной точке на
кривой С соответствует одна точка на кривой С', тогда как одной точке на
кривой С' может соответствовать п точек на кривой С. В этом случае
существуют определенные приводимые интегралы, принадлежащие С, и таблица
периодов имеет простую нормальную форму. Также доказывается, что число п
равно порядку соответствующей тета-функции. Теперь известно, что
существует фуксова функция, которая униформизиру-ет любую алгебраическую
кривую, в частности, С'. Фундаментальные многоугольники для кривых С'
можно взять ограниченными дугами окружностей и так, что каждый
многоугольник для С будет образован из п таких многоугольников для С'.
Соответствие между интеграла-
1В конце лекции было замечено, что окончательные выводы необходимо
модифицировать, поскольку были упущены важные члены.
206
Дж. Д. Виркгоф
ми и многоугольниками приводит к многочисленным геометрическим фактам,
относящихся к кривым С1 и С" и конгруэнтным многоугольникам в
пространстве постоянной отрицательной кривизны. Дано несколько примеров,
иллюстрирующих одну красивую теорему, касающуюся кривых С и С', которая
может быть получена в результате такого анализа.
Трансфинитные числа. В этой лекции Пуанкаре раскрывает свое отношение к
некоторым тонкостям в этой противоречивой области математики. Две
