Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
утверждения, в которых речь шла о правиле соответствия, ранее не имели
значения, так как точки не были поставлены в соответствие целым точкам.
Теперь же эти утверждения обрели значение и поэтому должны оставаться в
нашем списке. Если бы мы изменили правило, по которому устанавливается
соответствие между точками и целыми числами, то та же самая трудность
повторилась, и так до бесконечности. Но именно в этом и заключается
разрешение кажущего противоречия между Ришаром и Кантором. Пусть Мц -
множество целых чисел, Mi - множество точек нашего отрезка, определяемых
всеми конечными утверждениями, сохранившихся в нашем перечне после
первого вычеркивания, Gi - правило, устанавливающее соответствие между М0
и Mi. Правило Gi порождает новое множество определимых точек М2. Но
множеству Mi + М2 соответствует новое правило G2, которое в свою очередь
порождает новое множество М3, и т.д. Доказательство Ришара учит нас, что
там, где я оборву применение нашего построения, всегда существует
некоторое правило соответствия, тогда как Кантор доказывает, что наше
построение можно продолжать сколь угодно долго. Таким образом, между
доказательствами Ришара и Кантора никакого противоречия не возникает.
Видимость противоречия связана с тем, что правилу соответствия по Ришару
недостает одного свойства, которое я назову "предикативностью", заимствуя
это выражение у одного английского философа. (По Расселлу, у которого я
заимствую этот термин, определение двух понятий А и А! не предикативно,
если А упоминается в определении понятия А! и наоборот.) Под
предикативностью я понимаю следующее. Каждое правило соответствия
предполагает определенную классификацию. Н называю соответствие
предикативным, если лежащая в его основе классификация предикативна. Что
же касается классификации, то я называю ее предикативной,если она не
изменяется от введения новых элементов. В этом смысле правило
соответствия Ришара непредикативно; более того, введение предложенного им
правила соответствия изменяет классификацию утверждений на имеющие
значение и на не имеющие значение. То, что в этом случае имеется в виду
под атрибутом "предикативный", лучше всего пояснить на примере. Если мне
требуется упорядочить множество, распределив образующие его пред-
192
Доклад пятый
меты по некоторому числу коробок, то могут представиться два случая: либо
упорядоченные предметы в конце концов окажутся на своих местах, либо мне
придется всякий раз, когда я буду классифицировать новый предмет,
извлекать какой-то другой предмет (или другие предметы) из той коробки
(или тех коробок), в которой он (или они) находились. В первом случае я
называю классификацию предикативной, во втором - непредикативной. Хороший
пример непредикативного определения привел Расселл: пусть А - наименьшее
число, для определения которого требуется более ста немецких слов. Число
А должно существовать, так как с помощью ста слов можно определить лишь
конечное количество чисел. Но определение, которое мы выше дали числу А,
содержит меньше ста слов, таким образом, число А и определимо, и
неопределимо.
Цермело высказал возражение против отказа от непредикативных определений,
ссылаясь на то, что в таком случае пришлось бы отказаться от большей
части математики, например, от доказательства существования корня
алгебраического уравнения.
Как известно, это доказательство состоит в следующем.
Дано алгебраическое уравнение F(x) = 0. Доказывают, что у \F(x)\ должен
быть минимум. Пусть х0 - то значение аргумента, при котором достигается
минимум, следовательно,
\F(x)\ 2 \F(x0)\.
Отсюда далее следует, что F{xо) = 0. Такое определение F(x0)
непредикативно, так как значение F(x0) зависит от множества значений
F(x), к которому оно принадлежит.
Я не могу останавливаться на обосновании этого возражения. Доказательство
можно преобразовать так, чтобы непредикативные определения из него
исчезли. Для этого я рассмотрю совокупность значений
т + ш г,
аргумента вида ---, где т, п и р - целые числа. И могу воспользоваться
теми же рассуждениями, что и прежде, но значение аргумента, при котором
достигается минимум |F|, вообще говоря не принадлежит к рассматриваемым
значениям аргумента. Тем самым мы избегаем круга в доказательстве. От
каждого математического доказательства можно потребовать, чтобы оно
содержало только предикативные определения и т.д., так как в противном
случае доказательство нестрого.
А как обстоит дело с классическим доказательством теоремы Бернштейна?
Свободно ли оно от противоречия? Как известно, теорема
О трансфинитных числах
193
Бернштейна утверждает, что если даны три множества А, В и С, такие, что А
содержится в В, а В содержится в С, и если А эквивалентно С, то А должно
быть эквивалентно В. Таким образом, и в этом случае речь идет о правиле,
по которому устанавливается соответствие. Если первое правило
установления соответствия (между А и С) предикативно, то, как показывает
доказательство, второе правило установления соответствия между А и В
