Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пуанкаре А. -> "Последние работы" -> 62

Последние работы - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Последние работы — Ижевск: НИЦ, 2001. — 208 c.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка): poslednieraboti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 71 >> Следующая

G и G, которые оказываются связанными друг с другом. Получен Р,
ограничивающий G, развивается на п полиномов Р'(/3), которые эквивалентны
друг другу в смысле псевдо-евклидовой геометрии.
Я обозначу сторону полигона Р' через 7(а) и аналогичную сторону в Р'(/3)
через 7(а, 0). Сторона 7(0, 0) лежит или внутри или на границе Р. Я буду
предполагать, что сторона 7(a) переходит в j(a') при групповой операции
GG'. Если теперь j(a, 0) лежит на границе Р, то имеется еще одна сторона
7(а', 0') на этой границе, которая конгруент-на исходной при действии G.
Если же 7(а, 0) лежит во внутренности Р,
186
Доклад четвертый
то подобной отличной стороны не существует, но j(a, /3) и 7(а1, (}')
связаны друг с другом и образуют общую сторону для Р'(/3) и Р'(/3'). Но
при этом всегда справедливо, что всякая сторона 7(a) полигона Р'
получается при перестановке п цифр 1, 2, ... , п.
Проведенное выше рассмотрение аналогичным образом можно распространить на
углы полигона Р'. Мы можем объединить стороны в пары и разбить углы на
циклы таким образом, что угол одного цикла получается при помощи операции
(действия) G над другим циклом. При этом каждый цикл снова можно
определить некоторой перестановкой цифр 1, 2, ... , п, которые становятся
упорядоченными, подобно сторонам. Я предположу теперь, что полигон Р
имеет 2N сторон и Q угловых циклов. Подобные обозначения введем и для Р'\
2N' и Q'. Один угловой цикл Р', соответствующий перестановкам,
разбивается в циклические перестановки. Для всех угловых циклов может
быть целое число Aj циклических перестановок для некоторой цифры г. Далее
можно установить следующие соотношения:
2р = N - Q + 1 2q = N'-Q' + l
Q + 2p-2 = n(Q' + 2q-2) n(Q' - Q) = 2(p - 1) - 2n(q - 1)
i\i = nQ'.
Изложенные выше общие соображения позволяют нам теперь вывести несколько
красивых и важных теорем о неевклидовой геометрии многоугольников,
образованных дугами окружностей, а также геометрии алгебраических кривых.
Я приведу далее несколько примеров таких теорем, не останавливаясь на
доказательствах. Впрочем, основные идеи доказательств содержатся в
заключительной части моего доклада.
1) р = 3, q = 2, п = 2, т = т' = 4.
Через т и т' обозначены порядки кривых С и С'. Кривая С не имеет двойных
точек, кривая С' имеет одну двойную точку. Из 28 двойных касательных к С
6 проходят через одну точку вне кривой.
2) р = 4, q = 2, п = 2, т = 4, то' = 5.
У кривой С две двойные точки, у кривой С' - только одна. Если
дифференциалы приводимых интегралов первого рода положить равны-
О приведении абелевых интегралов и теории фуксовых функций 187
ми нулю, то мы получим пучок конических сечений, четырьмя базисными
точками которого служат двойные точки кривой С и две другие точки той же
кривой. Шесть этих конических сечений дважды касаются кривой С. Те из
них, которые касаются кривой С в базисной точке, соприкасаются сами собой
в этой точке.
3) р = 2, q = 1, п = 1.
Кривая С - кратное двух различных кривых С' и С". Существует фуксова
группа G, для которой можно построить как первый многоугольник Pi,
состоящий из двух многоугольников группы G', соответствующей кривой С",
так и второй многоугольник Рг, состоящий из двух многоугольников группы
G", соответствующей кривой С". Таким образом, G содержится и в G', и в G"
как подгруппа индекса 2. Схематический чертеж на рис. 5 помогает
составить наглядное представление об отношениях между многоугольниками.
Две упомянутые выше фундаментальные области Pi и Рг группы G представлены
многоугольниками с вершинами А и С. Каждый из этих многоугольников
распадается на два шестиугольника - фундаментальные области группы G' или
G". Чтобы сделать более наглядной эквивалентность Pi и Р2, центры
симметрии упомянутых шестиугольников соединены с серединами сторон, чтобы
все многоугольники можно было легче построить из получающихся
четырехугольников.
Перехожу к теоремам из геометрии алгебраических кривых, которым нас учит
этот пример. Если М' - точка на кривой С", то на кривой С ей
соответствуют две точки Ма и Mf,. Каждой из них на кривой С"
соответствует по одной точке: М" и МЦ. Следовательно, в общем случае
каждой точке кривой С' соответствуют две точки кривой С". Точно так же мы
заключаем, что в общем случае каждой точке кривой С" соответствуют две
точки кривой С'. Соответствие (С", С") имеет две точки ветвления М[ и
М'2. Следовательно, каждой из них соответствует только одна точка кривой
С, а также только одна точка кривой С": М" и Mil- Соотношение (С", С)
также имеет две точки ветвления N" и N1. Каждой из них соответствует
только одна точка кривой С': N[ и Щ. Первую из теорем, которые мы хотели
привести, можно сформулировать следующим образом.
Точки N[ и с одной стороны, и точки М" и Ml, с другой, совпадают.
Перехожу ко второй теореме, которая имеет место, когда кривые С' и С"
третьего порядка.
188
Доклад четвертый
ABA ABA
Рис. 5
В точке N[ = N2 я могу провести касательную к кривой С'. Соединяю затем
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed