Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
кривая С, многократная для С", является в то же время псевдомногократной
для С'. Наоборот, я располагаю многими примерами, которые показывают, что
не каждая псевдомногократная кривая для С' является в то же время
многократной кривой для С'. Я не буду останавливаться на этом подробно,
так как все мои последующие рассуждения относятся исключительно к первому
случаю.
В случае приводимости наших интегралов их таблицу периодов можно
представить в особой нормальной форме. Свойства этой таблицы наглядно
видны из следующих двух примеров.
1) q = 1; р = 3. Таблица периодов может быть приведена к виду
\ 0 0 2*77
2) q = 2; р = 2. В этом случае нормированные периоды имеют следующие
значения:
^ 2*7г О О
О 2*7г О
/ 2*7г 0 0 0 а Ь О Щ- N
О 2гтг О О b с ^4 О
ар
О 0 2гтг О О Щ а' У
ар
v 0 0 0 2*7г 'Щ- О Ь' с' у
Числа а и (3 в обеих таблицах - целые рациональные числа.
О приведении абелевых интегралов и теории фуксовых функций 183
Теперь я определю второе характеристическое число ж. Оно указывает
порядок тета-функции от q переменных, в которую можно преобразовать в
случае приводимости тета-функцию первого порядка от р переменных. В
первом примере ж = а, во втором - ж = а(3. Оба характеристических числа п
и ж всегда равны. Я нашел два доказательства этого утверждения, основные
положения которых я сейчас изложу.
Первое доказательство. Пусть М и М' - два абелевых интеграла первого,
второго или третьего рода кривой С. Мысленно представим себе
соответствующую риманову поверхность, на которой в каком-то месте из
одной точки проведены 2р замкнутых разреза, не разделяющие поверхности на
отдельные куски. Тогда М и М' могут обладать следующими периодами:
М: хх, х2, ... , х2р,
М': ух, у2, ... , У2Р-
Теперь мне необходимо определить характеристическую фундаментальную
билинейную форму, а именно, я полагаю
f(x, у) = Jмам',
где интеграл следует брать по всему контуру разреза. Если х и у -
нормальные периоды, то F(x, у) принимает следующий вид:
р
F(X, у) =^2 {х2х-1У2х ~ Х2хУ2х-1)-
Ж=1
Если предположить, что М - один из приводимых интегралов, то его 2р
периодов можно линейно и с целочисленными коэффициентами выразить всего
лишь через 2q периодов и>х, ... , u>2q, и я получаю
2 q
= ^2 Xxji0j (ж = 1,2,..., 2р),
1=1
где тх - целые рациональные числа. Если теперь М и М' - интегралы первого
рода, то, как известно,
F{x, у) = 0.
184
Доклад четвертый
Если в это уравнение подставить выражение для х через и>, то получится
билинейное уравнение между у и и>, которое можно записать в следующем
виде:
2 q
5>Wj = o.
1=1
Пусть теперь щ, ... , ир - р линейно независимых интегралов первого рода
кривой С. Тогда мы можем положить
U = piui + P2U2 + • • • + PpUp,
U = PiUi + P2U2 Т • • • Т
Остающиеся пока неопределенными коэффициенты ц' следует найти таким
образом, чтобы они удовлетворяли 2q линейным уравнениям
Hj = 0 (j = 1,2,... , 2q).
Если еще заметить, что эти 2q уравнений не являются линейно независимыми,
и между ними имеются q соотношений
^HjWj =0,
а поэтому легко понять, что Mi также приводима и что, так как М
принадлежит семейству из q приводимых интегралов, то М' является
элементом (р - ^)-кратного бесконечного линейного семейства приводимых
интегралов. Это только предварительное соображение.
Я замечу, что Hj является линейной функцией от уж, поэтому можно записать
2 р
Hj - ' hijy, (j - 1,2,..., 2q),
i
где hij - рациональные числа. Из элементов и я сформулирую две таблицы из
2q столбцов и 2р строк. Из обоих я сформирую определенные n-рядные
детерминанты. Я также обозначу числа т через D и соответственно числа h
через D'.
Тогда будем иметь
j = '?dd'.
Величина J является инвариантным членом в следующем смысле: она остается
без изменений, если какую-либо систему периодов х или и>
О приведении абелевых интегралов и теории фуксовых функций 185
заменить на эквивалентную. При этом назовем две системы периодов
эквивалентными, если они целочисленно и линейно выражаются друг через
друга. Теперь можно с одной стороны доказать, что
J = ж2,
а с другой
J = п2.
Из этого следует, что ж = 0, что и заканчивает доказательство. Перейдем к
другому доказательству.
Второе доказательство существенно короче. Оно основано на сравнении
принадлежащих к S и S' билинейных форм F(x, у) и Ф(о;, и>'). С одной
стороны, имеем
F(x, у) = пФ(и>, и>'),
с другой,
F(x, у) = жФ(ш, со').
Из этого вытекает, что ж = п.
Я подхожу теперь к связи теории приведения с теорией фуксовых функций.
Как известно, каждая алгебраическая кривая С определяется системой
фуксовых функций. Теперь применим то обстоятельство, что кривая С
является многократной кривой для С' следующим образом. Всегда
справедливо, что кривая С" определяет группу окружности G", и аналогично,
кривая С определяет группу G, при этом G является подгруппой G'. Из того,
что кривая С является n-кратной кривой С, следует, что G является
подгруппой G' индекса п. Можно получить при этом фундаментальные области
