Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
проблем; конечно, это, если угодно, аналитические проблемы, но анализ
никогда не привел бы нас к их постановке. Однако анализ извлекает для
себя из этого выгоду, как и из того, что он вынужден разрешать проблемы
для удовлетворения потребностей физики.
Большое преимущество геометрии состоит именно в том, что в ней чувства
могут прийти на помощь рассудку и помогают отгадать нужный путь, так что
многие предпочитают приводить проблемы анализа к их геометрической форме.
К несчастью, наши чувства не могут вести нас особенно далеко, они
покидают нас, лишь только мы обнаруживаем желание унестись за три
классические измерения. Значит ли это, что, выйдя из той области, в
которой они нас, по-видимому, хотят удержать, мы не вправе более
рассчитывать на что-либо, кроме чистого анализа, и что всякая геометрия
более чем трех измерений тщетна и бесцельна? Величайшие умы
предшествующего нам поколения ответили бы: "да"; мы же теперь так
освоились с этим понятием, что можем говорить о нем даже в
университетском курсе, не вызывая особенного удивления.
хЭта концепция кажется связанной с построением полей алгебраических чисел
(и полей Галуа) с помощью полиномов, определенных с точностью до
сравнения по некоторому модулю.
2Приведем три раздела, относящиеся к главе II "Будущее математики" в
книге "Наука и метод". Эта книга была также выпущена в 1908 г., однако,
последние разделы не были включены в доклад, в то же время разделы
"Арифметика" и "Алгебра" в докладе приведены в более развернутом виде.
Будущее математики
11
Но к чему оно нам? Ответ очевиден: оно дает нам прежде всего весьма
удобный способ выражения, язык, который в очень немногих словах выражает
то, что при обыкновенном аналитическом языке потребовало бы пространных
фраз. Мало того: этот язык побуждает нас называть одним и тем же именем
сходные между собой вещи и закрепляет аналогии, делая невозможным
забвение их. Он дает нам возможность ориентироваться в этом пространстве,
слишком громадном для нас, которого мы не можем обнять иначе, как вызывая
перед собой постоянно образ видимого пространства, хотя последнее
представляет собой лишь весьма несовершенное его изображение. И тут, как
и в предыдущих примерах, аналогия с тем, что просто, помогает нам понять
то, что сложно.
Эта геометрия пространств, имеющих более трех измерений, не является
простой аналитической геометрией: она имеет характер не исключительно
количественный, но также и качественный, и этим-то она особенно
интересна. Есть дисциплина, которую называют "Analysis situs" и предметом
изучения которой являются соотношения расположений различных элементов
фигуры независимо от их величины. Эта геометрия - чисто качественная: ее
теоремы остались бы справедливыми, если бы точные фигуры были заменены
грубыми изображениями, созданными ребенком. Можно построить также
Analysis situs более чем трех измерений. Важность Analysis situs огромна,
и я не думаю, чтобы его значение могло быть преувеличено; это достаточно
подтверждается той пользой, которую из него извлек Риман1, один из
главных творцов этой дисциплины. Нужно дойти до ее полного построения в
пространствах высшего порядка; тогда у нас будет в руках такое орудие,
которое позволит действительно видеть в гиперпространстве и расширить
область наших чувственных восприятии.
Быть может, проблемы Analysis situs не были бы даже поставлены, если бы
пользовались только языком анализа; впрочем, нет, я ошибаюсь: они были
бы, несомненно, поставлены, ибо их разрешение необходимо для множества
вопросов анализа, но наверное изолированно, так что нельзя было бы вовсе
усмотреть их общей связи. Особенно содействовало недавнему успеху
геометрии введение понятия о преобразованиях и группах. Благодаря этому
понятию геометрия перестала
1Б. Риман (1826-1866) - выдающийся немецкий математик, выдвинувший ряд
основных идей топологии. Имеет многочисленные труды по разнообразным
разделам математики. - Прим. ред.
12
Будущее математики
быть агрегатом теорем, более или менее интересных, но следующих одна за
другой без всякого сходства между ними, она приобрела единство. А с
другой стороны, история не должна забывать того, что именно по поводу
геометрии начали систематически исследовать непрерывные преобразования,
так что чистые геометры со своей стороны также содействовали развитию
идеи группы, идеи, столь полезной в других отраслях математики.
Канторизм
Выше я говорил о представляющейся нам необходимости постоянно восходить к
основным принципам нашей науки и о той пользе, которую отсюда может
извлечь наука о человеческом духе. Эта потребность породила два
стремления, занявшие весьма обширное место на самых последних страницах
истории математики. Первое из них - канторизм, заслуги которого перед
наукой известны. Одна из характерных черт канторизма состоит в том, что
вместо того, чтобы подниматься к общему, строя все более и более сложные
конструкции, и вводить определения через построения, он исходит из genus
