Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пуанкаре А. -> "Последние работы" -> 3

Последние работы - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Последние работы — Ижевск: НИЦ, 2001. — 208 c.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка): poslednieraboti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 71 >> Следующая

остальному. В этом исследовании, несомненно, не обойтись без Геометрии
чисел Минковского.
Идея, которая еще не использована до конца - это идея Эрми-та ввести
непрерывные переменные в теорию чисел. Поясним, что она означает. Возьмем
в качестве начальных данных определенную квадратичную форму F' и другую
форму F, и применим к ним одно и то же преобразование. Если
преобразованная форма F' становится приведенной, то говорят, что
преобразование приведено, а также, что преобразованная форма F приведена.
Получается, что если форма F' сохраняется некоторыми преобразованиями, у
F может быть несколько приведенных форм. Но это неудобство существенно, и
его никак нельзя избежать. Впрочем, существование приведенных форм и
преобразований не мешает классификации форм. Ясно, что эта идея, которую
до сих пор применяли только к очень специальным формам и преобразованиям,
может быть распространена на группы нелинейных преобразований. Она несет
в себе очень многое и отнюдь не исчерпана1.
Областью арифметики, в которой единство кажется совершенно отсутствующим,
является теория простых чисел. Здесь нет ничего, кроме асимптотических
законов, и ничего большего ожидать не приходится. Но эти законы
изолированы, и подойти к ним можно только непере-секающимися дорогами,
по-видимому, не сообщающимися между собой. Кажется, я предчувствую,
откуда явится желанное единство, но вижу это очень смутно. Несомненно,
все сведется к изучению семейства трансцендентных функций, которое
позволит вычислить асимптотически некоторые функции больших чисел путем
исследования их особых точек и применения метода Дарбу2.
*Сам А. Пуанкаре привел примеры таких групп нелинейных преобразований, и
они были впоследствии изучены. (Memorie 348, р. 483 и примечания)
2Известно, что наиболее важный прогресс в теории простых чисел был
достигнут при аналитическом изучении ффункции Римана.
Будущее математики
9
Алгебра
Теория алгебраических уравнений уже давно привлекает внимание геометров.
К ней можно подойти многочисленными и разнообразными способами. Самой
важной, конечно, является теория групп, к которой мы возвращаемся. Но
имеется также вопрос о численном нахождении корней и вопрос о количестве
вещественных корней. Лагерр показал, что способом Штурма исчерпывается не
все. Остается место для изучения систем инвариантов, не меняющих знак,
когда число вещественных корней остается тем же. Можно также составлять
степенные ряды, представляющие функции, особые точки которых совпадают с
корнями алгебраического уравнения (например, рациональные функции со
знаменателем, равным ведущему члену этого уравнения). Коэффициенты при
членах высшего порядка задают нам корни с большей или меньшей точностью.
Здесь мы имеем в зародыше способ приближенных вычислений, которые можно
изучать систематически.
Вот уже 40 лет, как появилось учение об инвариантах алгебраических форм,
которое, казалось, поглотит всю алгебру. Сейчас оно разжаловано, и тем не
менее оно еще не исчерпало себя. Надо только не ограничиваться, к
примеру, инвариантами линейных преобразований, а изучать инварианты
произвольных групп. Ранее известные теоремы позволят нам найти другие,
более общие, которые начнут группироваться вокруг прежних, как кристалл
подпитывается раствором. Что касается известной теоремы Гордана об
ограниченности числа различных инвариантов, чье доказательство
замечательно упростил Гильберт, мне кажется, что она приводит нас к
гораздо более общему вопросу: если имеется бесконечно много многочленов,
алгебраически зависящих от конечного числа среди них, можно ли всегда
получить эти многочлены путем сложения и умножения из конечного набора1?
Не надо думать, что алгебра закончена, т. к. она обеспечивает нам правила
для формирования всех возможных комбинаций. Остается найти интересующие
нас комбинации, удовлетворяющие тому или иному условию. Так возникает
что-то вроде неопределенного анализа, где неизвестными являются уже не
целые числа, а многочлены. Тогда это будет алгебра, взявшая за образец
арифметику, алгебра, которая руководствуется аналогиями между целыми
числами и многочленами, будь
1Кажется, что эта программа предваряет множество теорий современной
алгебры.
10
Будущее математики
то многочлены с произвольными коэффициентами, либо многочлены с целыми
коэффициентами1.
Геометрия2
По-видимому, геометрия не может содержать ничего такого, чего не было бы
уже в алгебре или в анализе: ведь геометрические факты - это те же факты
алгебры или анализа, но только выраженные на другом языке. Казалось бы,
поэтому, что после того обзора, который мы сделали, не остается больше
ничего сказать, специально относящегося к геометрии. Но думать так -
значило бы проглядеть важность самого языка, когда он удачно создан,
значило бы не понимать того, что прибавляет к вещам способ обозначения
этих вещей и, следовательно, способ их группирования.
И прежде всего геометрические рассуждения приводят нас к постановке новых
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed