Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
этой книги будет полезно широкому кругу читателей - от студентов до
специалистов-математиков, а также историков науки. Возможно, что для
молодых читателей она станет тем звеном, которое необходимо для того,
чтобы выбрать математику в качестве основного занятия, и нацелит на новые
достижения и открытия.
БУДУЩЕЕ МАТЕМАТИКИ
Из доклада на конгрессе1
Мы рассматриваем различные отдельные науки, которые вместе образуют
математику. Мы видим, чего достигла каждая из них, к чему они стремятся и
чего можно ожидать в будущем. Если эти рассмотрения справедливы, мы
должны заметить, что великие достижения прошлого случались тогда, когда
эти науки сближались, когда осознавалось подобие их форм, несмотря на
различие в предмете, когда они становились моделями друг для друга, так,
чтобы каждая из них могла воспользоваться достижениями другой. В то же
время мы должны предвидеть будущий прогресс в сближениях подобного рода.
Арифметика
Прогресс в арифметике оказался более медленным, чем в алгебре и в
анализе. Легко понять, почему. Чувство непрерывности - бесценный
проводник, которого не хватает арифметике. Каждое целое число отделено от
других и, если можно так выразиться, имеет свою индивидуальную
особенность. Каждое из них является своего рода исключением, вот почему в
теории чисел очень редко появляются общие теоремы, вот почему даже
существующие теоремы более скрыты и дольше ускользают от исследователей.
Если арифметика отстала от алгебры и анализа, то лучше всего для нее
будет искать модели в этих науках, чтобы воспользоваться
xHa 4-м международном конгрессе математиков (Рим, апрель, 1908) А.
Пуанкаре согласился подготовить доклад о будущем математики, который был
зачитан г-ном Дарбу на общем собрании 10 апреля (ввиду недомогания
Пуанкаре). В этом томе мы сочли необходимым воспроизвести часть,
касающуюся арифметики и алгебры. С одной стороны она служит комментарием
и пояснением к общим идеям, руководившим А. Пуанкаре в его исследованиях
и работах, опубликованных ниже. С другой стороны, она оказывается на
удивление пророческой и характеризует математическую мысль гения, который
был более чувствителен к богатству и мощи методов, чем к деталям
результатов.
Будущее математики
7
их прогрессом. Арифметик должен основываться на аналогиях с алгеброй. Эти
аналогии многочисленны, и если в большинстве случаев они еще не
достаточно хорошо изучены, чтобы стать полезными, то их по крайней мере
предчувствуют уже давно и даже язык этих двух наук показывает, что они
уже замечены. Так, например, происходит, когда говорят о трансцендентных
числах и когда отдают себе отчет, что будущая классификация этих чисел
уже имеет своим прообразом классификацию трансцендентных функций. Однако
еще не очень хорошо видно, каким способом можно будет перейти от одной
классификации к другой. Но если бы этот способ был очевиден, то переход
был бы уже сделан и не являлся бы вопросом будущего.
Первый пример, который приходит на ум, это теория сравнений, где мы
находим точную параллель с теорией алгебраических уравнений. Конечно, эта
параллель будет еще дополняться и уточняться, как например в теориях
алгебраических кривых и сравнений от двух переменных. И когда задачи о
сравнениях со многими переменными будут решены, это станет первым шагом к
решению многих вопросов неопределенного анализа1.
Другой пример, где аналогию заметили не сразу, предоставляет нам теория
полей и идеалов. Чтобы подойти к нему с другой стороны, рассмотрим
кривые, высеченные на поверхности. Настоящим числам соответствуют полные
пересечения, простым идеалам ("идеальным числам") - неразложимые кривые.
Другие классы идеалов тоже имеют свои аналоги.
Несомненно, эта аналогия не может не внести ясность в теорию идеалов или
в теорию поверхностей, или же в обе сразу2.
Теория форм, а особенно квадратичных форм, тесно связана с теорией
идеалов. Если среди арифметических теорий она оформилась одной из первых,
то причина этого - в достижении единства этой теории через рассмотрение
групп линейных преобразований.
Эти преобразования позволили провести классификацию, и, следовательно,
наведение порядка. Не исключено, что все плоды введения групп
преобразований, которых можно было ожидать, уже собраны. Но
¦'¦Рассуждения такого рода привели к множественным достижениям в теории
диофантовых уравнений.
2Значимость теории идеалов в кольце многочленов и современной теории
алгебраических функций хорошо известна. Здесь можно увидеть силу
пророческого дара А. Пуанкаре.
8
Будущее математики
раз уж линейные преобразования порождают такие перспективы в геометрии, а
геометрия аналитическая доставляет нам много других преобразований (как,
например, бирациональные преобразования алгебраической кривой), то нужно
воспользоваться ими и искать арифметические аналоги. Без всякого
сомнения, они образуют разрывные группы, для которых прежде всего
необходимо изучать фундаментальную область, являющуюся ключом ко всему
