Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
величина куба расстояния, либо более высокого порядка.
Во всех этих случаях будем иметь бесконечное количество периодических
решений.
Однако, в случае ньютоновского закона действие больше не обращается
бесконечность, когда два тела сталкиваются. Здесь мы не можем более
утверждать, что в каждом классе существует периодическое решение.
Необходимо отметить, что каждой величине периода ti - to и каждой
величине угла и)± (при этом два значения, кратные 2-7г, не считаются
различными) соответствует периодическое решение. Для следующей задачи
можно было бы получить аналогичные результаты: предположим, что закон
тяготения совпадает с законом Ньютона, когда расстояние больше малой
величины е, и с законом обратного куба расстояний, когда расстояние
меньше, чем е. Тогда, кроме случая, когда два тела из трех приближаются
друг к другу (в этом случае движение возмущено на малом отрезке времени),
траектории будут такими же, что и закона Ньютона. Таким образом
предыдущее рассмотрение применимо к модифицированной задаче. Однако
результаты для обычной задачи трех тел не могут быть столь просто
получены аналогичным образом.
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ И ПРИНЦИПЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
Comptes rendus de VAcademie des Sciences, t. 124, p. 713-716 (5 avril
1897)
Рассмотрим движущуюся точку на плоскости. Уравнения движения могут быть
записаны следующим образом
d2x _ dU d2y _ djj ,
dt2 dx ' dt2 dy '
а интеграл живых сил
где U является силовой функцией. Нашей целью является изучение
периодических решений этих уравнений с новой точки зрения. Траектория,
которая соответствует периодическому решению, будет замкнутой кривой (Т).
Каждому периодическому решению будут соответствовать два
характеристических показателя - равные по величине и противоположные по
знаку. Если эти два показателя являются мнимыми, то периодическое решение
будет устойчивым. Если они являются действительными, то решение будет
неустойчивым. Применение принципа наименьшего действия приведет нас к
расширению этой классификации, в которой будут различаться два вида
неустойчивых решений.
По принципу Мопертюи известно, что интеграл
называемый действием, является наименьшим для траектории, удовлетворяющей
уравнениям (1), по сравнению с бесконечно близкими кривыми, в окрестности
этого экстремума. Это верно для двух экстремумов в окрестности каждого из
них. Но, вообще, нам известно лишь то, что первая вариация SJ интеграла J
равняется нулю.
О периодических решениях
33
Это условие является необходимым, но недостаточным для того, чтобы имелся
минимум.
Если продолжать обсуждение, то необходимо прибегнуть к понятию
кинетических фокусов, определение которых мы сейчас напомним. Пусть М -
точка, расположенная на траектории Т. Проведем через эту точку другую
траекторию, бесконечно близкую к Т. Если эта траектория пересекает Т в
точке М', то точка М' будет фокусом точки М.
Изучение кинетических фокусов в случае периодических решений приводит к
следующим результатам.
Сначала положим, что периодическое решение устойчиво. Пусть s - дуга
соответствующей замкнутой траектории (Г), исходящая из некоторого начала,
a S - общая длина этой траектории. Существует постоянно возрастающая
функция /(s), увеличивающаяся от 0 до 2тт при длине s, возрастающей от 0
до S, такая, что
f(s + S) = /(s) + 2-7Г.
Соотношение между величиной дуги s, соответствующей точке М траектории
(Г) и величиной s', соответствующей своему фокусу М', имеет вид
f(s') = f(a) + const.
Если периодическое решение неустойчиво, то различаются два случая:
1) решение будет решением первого вида, если ни одна из точек траектории
не имеет фокуса. Тогда траектории, соответствующие асимптотическим
решениям, будут спиральными кривыми, обвивающимися вокруг траектории (Т)
и приближающимся к ней асимптотически. Витки этой спиральной кривой не
пересекают траекторию (Т) и не пересекаются между собой, по крайней мере,
если ограничиться частью кривой, которая не слишком удаляется от (Т);
2) однако, может представиться и другой случай, в этом случае говорят,
что неустойчивое периодическое решение является решением второго вида.
При этом замкнутая кривая (Г) будет разделена на четное число дуг. Пусть
2р будет таким четным числом, а Ао, А±, ... , A2p-i - точками деления.
Достигая большей симметрии в обозначениях, мы для одной и той же
произвольной точки Aq будем иметь бесконечную последовательность символов
Aq, Aq+2Р, Aq+4Р, ...
Для точек деления предполагается выполнение условий:
34
О периодических решениях
1°. Точка Aq+1 является фокусом точки Aq.
2°. Если точка М находится на дуге Aq, Aq+±, то его фокус будет
находиться на дуге Aq+±, Aq+2.
3°. Пусть Mi - фокус точки М, М2 - второй фокус точки М, т.е. фокус точки
Mi, a Mq - q-Й фокус точки М. Если точка М находится на дуге АоА±, то на
ней будут находится и точки М2Р, М4Р, ... , М2кР, • • • и эти точки будут
бесконечно и постоянно приближаться к одной из точек А0 или А\.
