Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пуанкаре А. -> "Последние работы" -> 10

Последние работы - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Последние работы — Ижевск: НИЦ, 2001. — 208 c.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка): poslednieraboti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 71 >> Следующая

вопросе. Чтобы заслужить снисхождение читателя, сделаю несколько точных
заключений.
В специальных школах, а также в первом классе политехнической школы не
следует говорить о функциях без производных, а если и упо-
24
Логика и интуиция в математической науке и преподавании
минать о них, то со словами: "Возможно, такие бывают, но мы ими не
занимаемся".
Когда ученикам впервые говорят об интегралах, их следует определять через
площади, а строгое определение можно дать только после того, как ученики
вычислят множество этих интегралов.
ОБ ОБОБЩЕНИИ МЕТОДА ЯКОБИ
Comptes rendus de I'Academie des Sciences, t. 149, p. 1105-1108 (13
decembre 1909)
Известно, что метод вариации постоянных позволяет решить задачу динамики,
когда решена другая задача динамики - более простая1, но немного
отличающаюся от первой. Однако эту более простую задачу удобней решать
методом Якоби для того, чтобы уравнения сохраняли каноническую форму.
Здесь, однако, можно столкнуться с некоторыми трудностями, которые я
обнаружил, когда хотел применить этот метод в теории прецессии и вращения
твердых тел. Таким образом, я постараюсь немного обобщить метод Якоби.
Пусть имеется динамическая система с п степенями свободы, положение
которой определяется п координатами х,. Назовем Т кинетической энергией,
U - потенциальной энергией, а Т + U = F - полной
dT
энергией. Положим у; = и запишем канонические уравнения Га-
dsr ¦
мильтона г
Произведем замену переменных, выражая х в функции п+п' новых переменных
qp, которых больше количества степеней свободы, и положим, что
Будем считать, что выполняется тождество
и что р связаны между собой п' линейными отношениями так, что только
между ними п являются независимыми. Назовем их ра. Оставшиеся
1Имеются в виду возмущенная и невозмущенная системы. - Прим. перев.
dx _ dF _ dF
dt dy ' dt dx'
(1)
(2)
26
Об обобщении метода Якоби
переменные, которые назовем рь, будут являться функциями от ра, qa и <7ь.
Тогда можно задаться вопросом - может ли Т быть выражена в виде функции
от р и q. Равенство dT = ^ qdp, которое имеет место, когда q
рассматривается как постоянная, позволяет нам ответить на этот вопрос
утвердительно. Следовательно, Т и F могут быть выражены в функции ра, qa
и <7ь, и уравнение живых сил может быть записано в виде
Пусть теперь S является функцией от qa и определенной уравнением в
частных производных
и, кроме того, зависящая от п произвольных постоянных у\ (равному числу
степеней свободы). Положим
Второй член этого равенства является точным дифференциалом, есшрь
рассматриваются как независимые переменные и тем более, если рь
полагаются связанными с ра линейными соотношениями, о которых мы уже
упоминали. Сопоставив формулы (7) и (2), можно сделать вывод, что
величина
является полным дифференциалом. Тождество (8) показывает, что Si является
функцией лишь от ж и ж' и, соответственно, имеем уравнения
F{Pa, Qa, Чь) = const.
(3)
(4)
так, что
(5)
dS
(6)
X,
откуда
dS = ^2 ра dqa -'Y^qbdpb + 'Y^ х> Н ¦
(7)
(8)
Об обобщении метода Якоби
27
которые определяют х' и у' в зависимости от ж и у. Отношение (8)
показывает, что замена переменных является канонической и не изменяет
каноническую форму уравнений. Таким образом, для нашей первой простой
задачи получим уравнения
dx^=dF Н_ = _dF
dt dy' ' dt dx' '
которые сразу интегрируются, поскольку F зависит только от у'. Для
получения уравнений полной задачи заменим F на F*:
dP_ _ <РРф Ф/_= dF*
dt dy' ' dt dx'
Применим этот метод в теории прецессии. Положим
F* =T + U, F = Т,
причем U будем считать существенно меньшей, чем Т. Хотя имеется три
степени свободы, выберем п + п' = 5 координат, которые аналогичны нашим
переменным q. Они имеют следующий смысл:
1° Угол <р между плоскостью OPz, проходящей через подвижную ось Oz и
произвольную ось ОР, и подвижной плоскостью Oyz.
2° Угол ф между подвижной осью Oz и осью ОР.
3° Угол х между плоскостью OPz и плоскостью OPZ, которая проходит через
ось ОР и неподвижную ось OZ.
4° Угол ш между осями ОР и OZ.
5° Угол в между плоскостью OYZ и неподвижной плоскостью OYZ.
Переменные р определим в форме
it, - dT .т, _ dT г _ dT 0 _ dT а. _ dT Ф-^' °~М'-
Они представляют моменты вращения относительно оси Oz, перпендикуляра к
POz, относительно ОР, перпендикуляра к плоскости POZ, и, наконец,
относительно OZ. Теперь можно выразить Т как функцию от переменных ip, ф,
в, ш, у, Ф, G, 0. Вводя производящую функцию S, не изменяя при этом
постоянных у', получим
dS = Ф dtp + G dx + 0 d6 - ф dф - и> d?l.
(10)
28
Об обобщении метода Якоби
Необходимо определить Ф, G, 0, Ф и и> так, чтобы правая часть (10) была
точным дифференциалом и чтобы функция Т(р, ф, 9, и>, у, Ф, G, 0)
приводилась к постоянной. При этом решение должно зависеть от трех
произвольных постоянных. Этого можно добиться, положив
Теперь легко ввести три произвольных независимых постоянных G, Ф и 0 и
получить
(А и С являются двумя моментами инерции Земли).
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed