Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
р = (1294,463+0,007) кг/м3 при вероятности P= 0,95.
Пример 6.6. Провести консервативную оценку (трех сигм) остаточного члена R по данным примера 6.5.
Подставив в формулу для R значения AV= 3SV= 3 • 13,4 • 10~10 = = 40,2-10"10 м3, Am = 3Sm = 3 • 14,6 • 10"7 = 43,8 • 10"7 кг, после вы-
6 Основы метрологии I /г і
числений получим A«10"6, что меньше 0,8 S-= 0,8 -0,035 = 0,028. Эта оценка позволяет не учитывать квадратичные члены в разложении Тейлора, ограничившись, как и ранее, линейными приближением.
Пример 6.7. При вычислении площади прямоугольной фигуры получены следующие результаты измерения сторон прямоугольника: а = 2,0 см, b = 4,0 см и CKO результатов измерения сторон а- = 0,02 см, а- = 0,03 см. Нормированный коэффициент корреляции гаЬ = 0,3 Определить среднее значение площади и доверительный интервал, в котором находится истинное значение площади с вероятностью 0,95, полагая, что результаты косвенных измерений распределены по нормальному закону.
Решение. Результат измерения в соответствии с (6.4) равен
П = ab =2-4 = 8,0 см2. Дисперсию результата измерения вычислим по формулам (6.3) и (6.18) с учетом корреляционной зависимости между переменными
2 (дП V 2 (дПЛ2 2 -дЛдП (-г \2 /_ х2
+ 2Ьао-с5ъгаЬ = 16 (0,02)2 + 4 (0,03)2 + 2 • 8 • 0,02 • 0,03 • 0,3 = 128,8 •10"4CM4.
Тогда а^г = 0,113 см «0,1 см и результат измерения при P= 0,95 (tp=2) запишется в виде TIq= (8,0±0,2) см; при rab = 0 о2-= Ю-2 см, On = O9i см2.
Таким образом, корреляционная связь на уровне rab = 093 не изменила конечный результат измерения, поскольку различия в CKO с и без корреляционной связи оказались неразличимы при округлении результатов вычислений. Заметим, что существенной корреляционной связью считается связь с коэффициентом корреляции >091.
Поскольку в исходных данных примера нет конкретных результатов измерений размеров сторон прямоугольника, оценим с помощью соотношения (6.21) среднюю дополнительную погрешность, возникающую из-за линеаризации. Поскольку вторые производные по переменным а и b равны нулю, то = 0.
Пример 6.8. При условии примера 6.7 определить интервальные оценки для истинного значения измеряемой величины, если число измерений каждой из сторон прямоугольника равно na = nb = 59 а оценки CKO каждой из сторон равны 5- = 0,02 см, ^ = 0,03 см,
^=о,з.
162
Решение. Оценим эффективное число степеней свободы, используя формуле (6.8):
^эф - т
( т ^
U=1 ,
1
-2 = -
J-I nj+ 1 1
-2 =
(64-10^+36-10'4)
10"
(64)2 +(36)2
-2 = 11,1-2*9,
К да Г»
дПЛ
дЬ
в которой использованы обозначения E- = т = 2.
По табл. П5 при P= 0,95, к= 9 найдем tp= 2,262. Тогда результат измерения при 5= = 0,113 см запишется в виде /7^= (8,0±0,3) см при P= 0,95.
Пример 6.9. При многократных измерениях пройденного телом пути по формуле 5=0,5w/2 найдено среднее значение ускорения w = 10 м • с-2 и среднее время в пути I = 10 с. Оценка CKO результата измерений ускорения и времени при этом соответственно равны 5- = 0,1 м-с"2, 5-=0,05 с. Число измерений каждого аргумента n = 4 и погрешности измерений не коррелированы между собой. Определить результат измерения, CKO результата измерения, усредненную систематическую погрешность и записать результат измерения, полагая, что результаты косвенных измерений распределены по нормальному закону.
Решение. 1. Найдем результат измерения, используя формулу (6.4):
S =
10-100
= 500 м
2 2
и оценку дисперсии результата измерения по формуле (6.18):
с2 _ (dS^f „і (dS}2„-> (P^
dt
K2J
Sl +
'2wP2
Sf =
= (50)2 • 10'2 + (10O)2 • 25 • 10'4 = 50 m2.
Таким образом, CKO косвенного измерения равно = V5O = 7,07 м.
163
2. Поскольку формула косвенных измерений нелинейна, то проверим допустимость линеаризации, оценив остаточный член R, используя метод «трех сигм»:
а2 с ~ д2 с ^ ^2^
' dwdt
ч
—t(Aw) +—t-(An +2-AwA/
owz аг
2
0 + ^(3^) +2/(3^)(3^-) 10(2 • 3 • 0,05)2 + 20(2 • 3 • 0,05)(2 • 3 • 0,1)] = і [ОД + 0,4] = 0,25 м.
Сравним остаточный член по формуле (6.19). Поскольку R = 0,25 < 0,8 -7,07, то для вычисления погрешности косвенного измерения можно ограничиться линейным приближением, используя для этого формулу (6.18).
3. Определим усредненное значение систематической погрешности по формуле (6.21):
1-,2
^2 1 '(d2S) + (d2s]
IU*2 J xj 2 {dw2} {dt2} t
= ^VfSf =0,0125 m.
1 m
1 h\
Видно, что систематическая погрешность много меньше CKO результата измерения и может не учитываться при подведении результатов измерения.
4. Для определения доверительного интервала истинного значения пути, пройденного телом за 10 с, вычислим эффективную степень свободы по формуле (6.8) при nw = nt = n = 4. Для этого вначале вычислим
К = (ff = (y)*w = 50 • 0,1 = 5,0 м, E1 = {^S1 = (Wt)S1=S м, (El^E2)1 (25 + 25)2
а затем
^эф ~
-2 =
2 =
2500
-J-(EUE4) 0-2(252 + 252 ) 0,2(625 + 625) = 10-2 = 8.
-2 =
По таблице Стьюдента при P= 0,95, А: = 8 найдем ґр = 2,306. Тогда результат измерения при S- = 7,07 м и ^=2,306 запишется в виде
