Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
CKO случайной погрешности результата косвенного измерения вычисляют по формуле (6.5), где вместо коэффициентов bj используют коэффициенты влияния, т.е. первые производные по
каждому из аргументов ху
4=Е
7=1
Ґ \2
V jj
Sl .
(6.18)
Результат измерения записывается в виде (6.4). Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом. Им пренебрегают, если
R<0$S7.
Остаточный член можно представить в общем виде
(6.19)
B2F
2 ш*і dxidxj
(Ax1-Ax7-),
а для функции двух переменных — в виде
5 F (к \2
d2F,
82F
,-{Ax2) + 2 дх2 v 2) Sx1Sx2
(Ax1Ax2)
(6.20)
^2
где Ах, . — отклонения результатов измерения от среднего арифметического. При расчетах берутся максимальные значения отклонений.
Если известны оценки CKO среднего, полученные экспериментальным путем, то оценить остаточный член можно, полагая, что нормально распределенные погрешности аргументов с вероятностью, близкой к единице (P= 0,997), не превышают Аху = 3?-(консервативная оценка «трех сигм»). j
155
Усредненное значение систематической погрешности, обусловленной остаточным членом, может быть определено по формуле [3]
где QR — поправка, обусловленная нелинейностью функции F.
Результат косвенного измерения, полагая, что распределение случайных погрешностей результатов измерения является нормальным, можно записать в виде (6.9).
Примечание. Следует подчеркнуть, что построение доверительного интервала для косвенно измеряемой величины и ее дисперсии является в общем случае не простой задачей даже при нормальном распределении погрешностей аргументов. Доверительный интервал при вычисленных на основе экспериментальных данных CKO можно определить, если точно известна функция плотности вероятности распределения косвенного результата измерения. Таким образом, встает вопрос: как определить коэффициент tpy число степеней свободы и вероятностное распределение результата измерения или их случайных погрешностей? Эти проблемы довольно подробно рассмотрены в [14].
Однако, если функция F непрерывна вместе со своими производными первого и второго порядков в области результата измерения и результаты прямых измерений аргументов распределены нормально, то при большом числе измерений (п > 25) для определения доверительного интервала можно воспользоваться функцией нормального распределения. При малом числе измерений можно использовать распределение Стьюдента и результат измерения записывать в виде (6.9). Эти формулы дают хорошее приближение при получении окончательного результата измерения [3, 10, 14].
Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют в соответствии с формулами (6.11) и (6.12), подставляя вместо коэффициентов b{, Ъ2, Ьт первые производные dF/dxv 8FZdX2, dFldxm соответственно.
Погрешность косвенного измерения оценивают в соответствии с формулами (6.13)-(6.15). При отсутствии данных о виде функции распределений составляющих погрешности результат измерения записывают в виде У, Sy, п, Q(P).
Результат косвенного измерения Y вычисляют по формуле [15]
где L — число отдельных значений измеряемой величины; Yj — у-е отдельное значение измеряемой величины, полученное в результате подстановки у-го сочетания согласованных результатов аргументов в формулу (6.1).
(6.21)
6.1.4. Метод приведения
(6.22)
156
CKO случайных погрешностей результатов косвенных измерений вычисляют по формуле
(6.23)
Доверительные границы случайной погрешности для результатов измерения вычисляют по формуле A(P) = ±TSy ,где Г — коэффициент, зависящий от вида распределения значений измеряемой величины Y9 а также выбранной доверительной вероятности Р. При нормальном распределении отдельных значений измеряемой величины доверительные границы вычисляют в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений (ГОСТ 8.207—76). Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенных измерений вычисляют как было рассмотрено выше.
Пример 6.1. Y= аххх + U2X2 + ... + атхт. Определить дисперсию погрешности результата косвенных измерений. Результаты прямых измерений и их погрешности независимы. Дисперсии результатов измерений аргументов известны и равны <тр а2, а3, от. Решение. Поскольку коэффициенты влияния dF dF dF
SbC1 1 дх2 2' дхт т' то оценка CKO будет равна
т
При U1 = U2 = ... = ат=\ Oy = ?ау> где O2J — дисперсияу-й пе-
ременной. Результат измерения при доверительной вероятности P можно записать в виде (с учетом (6.4))
Qy =Y±tpOy или Р{\?-Qy\<tpo?} = 2<b(tp)-\,
где Y = Y = аххх + а2х2 + ...+ атхт. В частности, для Y=XxIx2 оу=
= yjo2 + G2. Относительная погрешность 6Y = oY/Y для разности аргументов может быть большой.
Пример 6.2. Y = Xx1X22...x*m. Определить дисперсию погрешности результата косвенных измерений Y Результаты прямых измерений независимы. Дисперсии результатов измерений аргументов известны и равны Gx, а2, а3, от соответственно и получены при большом числе измерений аргументов.
157
Решение. Поскольку
dF а,—1 а, д. а аР
дх; ' 1 1 2 m ху представим слагаемые косвенных погрешностей в виде
