Введение в термодинамику необратимых процессов - Пригожин И.
Скачать (прямая ссылка):
вся система достигла термодинамического равновесия.
Когда выполняется условие двойного масштаба времени, переход системы к
равновесию сам собой распадается на два этапа: появление стационарных
неравновесных состояний и эволюция стационарных состояний к условиям
полного равновесия.
Это дает основание в конечном счете считать стационарные состояния этапом
в эволюции системы к равновесию.
7. Другие вариационные формулировки
В заключение мы коротко рассмотрим другие вариационные формулировки
задачи неравновесных стационарных состояний [69, 70]. Возьмем для
конкретности случай теплопроводности. Постараемся отыскать такой
лагранжиан 1?, чтобы интеграл
J (7.42)
L = I I?dw обладал свойством
§ ""¦
т. е. интеграл L должен в устойчивом стационарном состоянии иметь
минимум.
Эта задача решается очень просто. Напишем
^ = i(grad^)2, (7.43)
где т
grad (р = X grad Т; <р = J \(Т) dT (7.44)
(Л - коэффициент теплопроводности).
7. Другие вариационные формулировки
119
Вариационная производная от !? по ip по определению будет равна
85? _ д!? _ _d_
Sip dip ^ dxi
^ ^ *=1,2,3
Уравнение сохранения энергии
= - div(grad^>). (7-45)
C"f+divW = 0 (7.46)
принимает при этом вид
cdT__SJ?_ (7,7)
Cv т~ Sip ¦ {7Л7}
Стационарное состояние = 0^ характеризуется, таким образом,
экстремумом интеграла (7.42). Можно легко доказать, что речь идет
именно о минимуме, и что L может только уменьшаться с течением времени.
Лагранжиан Ь? имеет весьма простой смысл. Действительно,
L = ± J (grad ipfdv = | J W2dv = ±W*. (7.48)
В стационарном состоянии среднее значение потока тепла минимально. Если
мы с помощью граничных условий препятствуем системе достичь состояния
равновесия W = 0, то она достигает такого стационарного состояния, для
которого W2 принимает наименьшее возможное значение.
Отметим наконец, что
& = (7-49)
где а - приращение энтропии.
В случае, если мы можем считать АТ2 постоянной величиной, доказанная выше
вариационная теорема переходит в теорему о минимуме приращения энтропии.
120
Глава VII
8. Заключение
Во всех рассмотренных в этой главе случаях стационарное состояние
характеризовалось минимумом квадратичной функции скоростей необратимых
процессов; эта функция переходит в приращение энтропии возле
неравновесного стационарного состояния.
Можно также утверждать, что неравновесное стационарное состояние
определяется оптимальной эффективностью, выражающейся через эту функцию,
но во всяком случае не статистическим весом различных состояний, как это
характерно для равновесия.
Литература
[1] De Donder Т h Legons de thermodynamique et de chimie physique, Paris,
1920.
[2] De Donder Th., L'affinite, Paris, 1928.
[3] De Donder Th., L'affinite (P. II), Paris, 1931.
[4] De Donder Th., L'affinite (P. Ill), Paris, 1934.
[5] De Donder Th., Van Rysselberghe P., Affinity, Stanford, 1936.
[6] D u h e m P ., Traite d'energetique, Paris, 1911.
[7] Bridgman P ., The Nature of Thermodynamics, Harvard, 1941.
[8] Born M ., Phys. Z., 22, 218 (1921).
[9] Prigogine I., Defay R., Traite de thermodynamique:
а) Termodynamique chimique, Liege, 1950.
б) Tension superficielle et adsorption, Liege, 1951.
в) Phenomenes irreversibles.
[10] Kirkwood J J. Chem. Phys., 14, 180 (1946); см. также другие статьи
того же автора и его сотрудников в последующих номерах журнала J. Chem.
Phys.
[11] Born М., Green Н. S ., Proc. Roy. Soc., 190A, 455,(1947); см. также
книгу Green H. S., Molecular Theory of Fluids, Amsterdam, 1952.
[12] Chapman S., Cowling T. G., The Mathematical Theory of Non-uniform
Gases, Cambrige, 1939.
[13] Guggenheim E. A., Thermodynamics, Amsterdam, 1949.
[14] Van Russelberghe P., Bull. Acad. Roy. Belgique, Cl. Sc., 22, 1330
(1936); 23, 416 (1937).
[15] Needham J., Chemical Embriology, Cambridge, 1931 (в трех томах).
[16] De Groot S. R. Tolhoek H. A., Proc. Kon. Ned. Acad. Wet., 54B, 41
(1951).
Литература
121
[17] Prigogine I., Etude thermodynamique des phenomenes irreversibles,
Liege, 1947.
[18] De Groot S. R., Thermodynamics of Irreversible Processes, Amsterdam,
1951; русский перевод см. де Гроот С. Р., Термодинамика необратимых
процессов, Гостехиздат, 1956.
[19] Prigogine I., Mazur Р., Physica, 19, 241 (1935).
[20] De Donder Th., Bull. Acad. Roy. Belgique, Cl. Sc., 23, 936 (1937).
[21] Prigogine I., Hansen R., Bull. Acad. Roy. Belgique, Cl. Sc. 28, 301
(1942); Prigogine I., там же, 32, 30 (1946).
[22] Meixner J., Ann. Phys., (5), 41, 409 (1942); 43, 244 (1943).
[23] Mazur P., Prigogine I., J. phys. rad., 12, 616 (1951).
[24] Klein G ., диссертация, London, 1951.
[25] Tolman R. C., The Principles of Statistical Mechanics, Oxford, 1938.
[26] Fowler R. H ., Statistical Mechanics, Cambridge, 1936.
[27] Greene R. F., Callen H. В ., Phys. Rev., 83, 231 (1951).
[28] Prigogine I., Physica, 16, 137 (1950).
[29] Chandrasekhar S., Rev. Mod. Phys., 15, 1 (1943).
[30] Хинчин А., Математические основания статистической механики,
Гостехиздат, 1943.
[31] Casimir Н. В. G., Rev. Mod. Phys., 17, 343 (1945).
