Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
En = B(rt ft) |cos |^о>/—k (j—-^p^asin ft^j + ... +
-f cos ^tiit — ? (V—N—2м—l as-mft^ j _|„ _j_
-j-cos [at —k{r + ?~-asinft)j у (10)
Выражение в фигурных скобках можно переписать в виде
s = cos (A +^!b)+cos ( л + —^-В) + ... +cos (А -^в) ,
где A = (at—kr, a B=ka sin ft. Суммирование (11) приводит к выражению
s = sin^cosA
sin V2fi 4 '
Таким образом, поток в направлении ft для волны, проходящей N щелей, пропорционален
sin2 Ve (*« sin #) *
Амплитуда в максимуме пропорциональна N2t а угловая ширина пропорциональна 1/N, так что интегральный поток пропорционален числу щелей N. Максимумы получаются в тех же местах, как и в случае двух щелей, а именно
?sinft = ^. (14)
239
На рис. 6 представлена зависимость потока от угла в окрестности максимума. Центральный максимум имеет ширину порядка 2пШа. Его сопровождают малые дополнительные максимумы.
В качестве третьего примера интерференции волн мы рассмотрим интерферометр Майкельсона, изображенный на рис. 7. Волна г от источника 5, падающая
^ слева, попадает на централь-
ный экран (штриховая линия), наклоненный под углом 45°. Экран наполовину отражает (путь /) и наполовину ~1м/Иа пропускает (путь 2) падающей!/? щую волну (Мх и М2 — зер-рис. 6. кала). Можно представить се-
бе, что интерференционная картина возникает от двух реальных источников и Яг, показанных на рис. 8, находящихся на расстояниях Ьх и ?а от детектора ?>. Мы ожидаем получить максимум в центральной части детектора, если Ь.—Ьх—Е2 равно целому числу длин волн. Смещаясь с оси, мы будем наблюдать максимумы и минимумы
У///У/ШМ,
~4n/Na -2я/На
2я№
Рис. 7.
Рис. 8-
в виде чередующихся концентрических колец. Условия возникновения максимумов и минимумов соответственно
A cos Ь—пк и A cos Ф=(я f Уг) "к.
Опыты по интерференции электромагнитных и звуковых волн, которые рассматривались в разделе 2 этого курса, легко перенести и в видимую часть спектра. Вы можете простейшим образом наблюдать интерференцию, если посмотрите через две близко расположенные щели в экране на источник света, дающий яркую линию. Человеческий глаз способен разрешить угол равный приблизительно 10~3 радиана. Если длина волны равна 5000 А, то расстояние между щелями должно быть меньше, чем а=УФ=0,5 мм. Отметим, что с уменьшением расстояния между щелями интерференционные полосы будут расходиться *). Если наблюдать источник через
*) Описание набора пленок с щелевыми диафрагмами см. S. Chapman, Н. М е е s е, American Journal of Physics 25, 135—138 (March, 1957).
240
систему с щелями — дифракционную решетку, то максимумы становятся более резкими и интенсивными.
Каким образом мы должны описывать интерференционные явления в видимой части спектра, если нам известно, что в процессе детектирования, независимо от того, какой детектор используется— фотокатод или человеческий глаз,— фиксируются отдельные фотоны? Давайте возвратимся к дифракции света на одной щели (рис. 9).
Рис. 9.
Рис. 10.
В области I фотоны можно описать плоской волной с волновым вектором А=2яА. Обычно волновую функцию записывают в комплексной форме = —\^е1 (®*-кг). (Мы выбрали знак перед мнимой Ус
частью в соответствии с нашим прежним представлением переменных во времени полей в комплексной форме. Однако в квантовой физике принято использовать противоположный знак.) Поток фотонов запишется в виде Ф=с^,*1|),= 1. Величина его не зависит от поперечной координаты. В области II состояние фотона характеризуется волновой функцией 1ЬП =^%^е?(ю'-*г). По-
У с
ток Фп в точке с координатой (г, ¦&) Фп = сфнфц = \ \{г, "&)1а. Если мы имеем две щели (рис. 10), то волновая функция в области II будет суперпозицией парциальных волн, генерированных каждой из щелей. Таким образом,
11 Ус Ус
2/(г, 0)
сое (7а ка эт Ь) ё
(15)
Здесь сделаны такие же приближения, как и при выводе формулы (7).
Мы видим, что задачи о распространении амплитуды классического электромагнитного поля и фотонов имеют сходную структуру, подобно тому, как это имело место в поляризационных явлениях, рассмотренных в Р.3.7. Разница между амплитудами снова состоит в том, что классическое электрическое поле можно измерить, а волновая амплитуда фотона не является измеряемой величиной. Заключение о волновой функции мы можем сделать, лишь измерив
241
поток фотонов. Иногда можно услышать (в качестве объяснения интерференционного опыта), что половина фотонов проходит через одну щель, а другая половина — через другую щель и что наблюдаемая картина возникает из-за интерференции фотонов. Это объяснение совершенно неправильное: интерферируют не фотоны, а их волновые амплитуды. Таким образом, если бы мы уменьшили поток фотонов до такого низкого уровня, что в области между источником и детектором находился одновременно только один фотон, то мы все равно получили бы такую же интерференционную картину. При этих условиях нет никакого смысла говорить о том, через какую щель проходит фотон. Фотон ощущается только в процессе измерения. А любая попытка определить щель, через которую проходит фотон, потребовала бы измерения, которое нарушило бы фазовую когерентность двух парциальных волн в выражении (15) и уничтожило интерференционную картину. Подобная ситуация возникает в интерферометрах Майкельсона и Фабри — Перо. Мы не можем сказать, какие фотоны отражаются, а какие проходят. Физический эффект возникает в результате суперпозиции фотонных амплитуд, описывающих отражение и прохождение, причем оба эти процесса связаны с каждым фотоном в отдельности.
