Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Портис А. -> "Физическая лаборатория" -> 63

Физическая лаборатория - Портис А.

Портис А. Физическая лаборатория. Под редакцией Русакова Л.А. — М.: Наука, 1972. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): fizlab1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 116 >> Следующая

Р («) = _L-e-(«-^)V2o'f (16)
У 2па
где о = У п называется стандартным отклонением и обычно определяется следующим образом:
о2 = 2("—п)2Р(п). (17)
п
Мы не будем устанавливать связь между выражениями (15) и (16). Читатель может найти это в одном из вводных курсов статистики.
200
График функции (16) показан на рис. 3. Отметим, что при изменении (п—п)/о на единицу от нуля (стандартное отклонение) вероятность падает до 1/]/^, т. е. до 60,5 процента, а на две единицы — до 1/е2, т. е. до 11,7 процента от своего пикового значения.
Мы часто сталкиваемся со случайными процессами, в которых обнаруживаются длительные флуктуации физических величин. Например, броуновское движение и голубой цвет неба являются результатом флуктуации плотности, которые в свою очередь
связаны с поведением отдельных частиц.
Для демонстрации простого примера длительных флуктуации
ІШбР(п)
100

ІЦ50
I 0,25

-3 -2 -/ 0 / 2 3(п-п)/в
Рис. 3.
Рис. 4.
соберем схему, показанную на рис. 4. Поднесите источник С$137 достаточно близко к счетчику, так чтобы на развертке осциллографа наблюдались заметные скачки напряжения. Грубо говоря, мы можем ожидать, что наблюдаемые флуктуации напряжения соответствуют изменениям в накоплении заряда за время, примерно равное постоянной времени цепи %=?(С. В этих предположениях флуктуации заряда будут
?±с1&\Г~пд = Уг~%д, (18)
где ц — заряд в импульсе иг — скорость счета. Тогда выражение для флуктуации напряжения запишется в виде
ДУ = ^. (19)
Так как среднее напряжение в цепи равно
У=гКц, (20)
(21)
то для отношения ДУ к V мы получаем
Приведенный вывод является приближенным по двум причинам. Во-первых, флуктуации, с которыми мы имеем дело, нельзя относить к определенному интервалу времени. В самом деле, мы имеем
201
систему, в которой релаксация происходит экспоненциально. В П.3.2 будет показано, что точное выражение для стандартного отклонения в величине заряда имеет вид
Л<2=}/у<7. (22)
Во-вторых, возникает вопрос, как определить величину стандартного отклонения, если оценивать флуктуации визуально, фиксируя разбросы амплитуды от максимума до минимума? Результат в значительной степени зависит от реакции и памяти наблюдателя. В ряде исследований предполагается, что наблюдаемые разбросы соответствуют четырем стандартным отклонениям. Это означало бы, что относительные флуктуации описываются выражением
(23)
Используя экспериментальную схему, изображенную на рис. 4, определите относительную амплитуду флуктуации в широком интервале скоростей счета и постоянных времени и сравните ваши наблюдения с формулой (23).
-7
Приложение 3.2. Флуктуации заряда
В Р.3.2 мы познакомились с распределениями случайных величин и их флуктуациями. Мы подсчитали число распадов за время д/ и нашли, что 1) в том случае, когда число возможных событий
не ограничивается, и 2) среднее число наблюдаемых событий велико," вероят-д ность наблюдения п событий в ин-/р| | ?^2 тервале д* описывается нормальным,
или гауссовым, распределением. Среднее квадратичное отклонение от сред-рис 5. него значения, или стандартное отк-
лонение, просто равно корню квадратному из среднего числа событий п за время д/.
В реальном эксперименте, например с использованием счетчика Гейгера — Мюллера, стандартное отклонение в величине собираемого заряда за время д/ равно
д<2 = КгД7<7, (24)
где г — средняя скорость счета, а ц — заряд, собираемый в одном импульсе.
Теперь мы поставим несколько иной вопрос. Пусть заряды поступают на ЯС-цепочку, показанную на рис. 5. Пусть г по-прежнему обозначает среднюю скорость счета зарядов. Чему равно среднее квадратичное отклонение величины заряда на емкости? Ток /, протекающий через фильтр, будет случайной функцией
202
времени, как Показано на рис. 6. Какова величина среднего заряда на емкости? Так как падения напряжения на емкости и сопротивлении должны быть одинаковыми, то
(25)
Здесь ц — заряд, протекающий в импульсе, и 1=щ — средний ток. Разрешая выражение (25) относительно <2, получаем
<2 = лчг, (26)
где т=/?С — постоянная времени фильтра. /
Рис. 6.
Вычислим дисперсию заряда (Дф)2, В небольшой интервал времени М в момент I' (рис. 6) дисперсия записывается в виде
(Щ*(П=гЯШ. (27)
Так как заряд конденсатора изменяется в соответствии с формулой
<2(0 =<?(*') е-('-п/т. (28)
то можно ожидать, что дисперсия заряда, накопленного на емкости за время Д? в момент меняется со временем следующим образом:
(Д<2)2(0 = "7*Д 1е~2(' ~ п/х- (29)
Проинтегрируем (29) по времени, предшествующему моменту I. Тогда
(№?^га* | е-2<'-''"т<Я' = -1 гтд2. (30)
— со
Извлекая корень из (30), мы получаем среднее квадратичное отклонение в величине заряда
Я-
(31)
Легко видеть, что стандартное отклонение заряда, накопленного на экспоненциальном фильтре с постоянной времени т, такое же, как стандартное отклонение в величине протекающего заряда за время Д?=т/2. Прочитайте следующие статьи, в которых изложены
203
занимательные задачи, связанные со случайными процессами: Kaiser S. К u п z, Paradoxical Features of Uniformly Distributed Random Events, American Journal of Physics 32, 562 (1964); R. E. Bell, Three Problems on Random Events, American Journal of Physics 33, 219 (1965).
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 116 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed