Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
71
Работа 1.8. РЕЗОНАНС
Всем нам известно явление резонанса. Высокая нота, взятая на пианино, может вызвать интенсивные колебания стеклянной
пластинки. Низкие ноты из громкоговорителя могут вызвать сотрясение предметов в комнате. Это результат возбуждения системы частотой, близкой к характеристической частоте колебаний системы. Здесь мы будем изучать электрический аналог "резонансного возбуждения, исполь-Рис. 1. зуя схему, показанную на рис. 1.
Уравнение, описывающее колебания в этой схеме, имеет вид
I^ + /K + ?-V0cosfirf. (1)
Решение уравнения ищем в виде
Q=Q0cos (<оН-<р). (2)
Ток будет определяться формулой
/=^«-<aQ.sin(firf + q>), (3)
а скорость изменения тока
f=-ri"Q0cos(firf + q>). (4)
Чтобы найти амплитуду и фазовый сдвиг, подставим уравнения (2), (3) и (4) в уравнение (1):
—соа LQ 0 cos (atf+ ф)—a>Q0 Rsln (art+ ф) +
H-^ cos (at + ф) = V0 cos со*. (5)
Раскрывая левую часть и группируя члены, получим
|^a>2L—-^-^ sin ф — <D^?cosфJ Q0 sin со/ —
— —^) соэф + со/? sincpj Q0cosat = V0cosat. (6)
Полагая tot4—я/2, получим
^(03L—-^Бтф— ?й#СО5ф = 0, (7)
которое приводит к выражению для фазы
72
(8)
Полагая сог=0, получим
— ^oaL— ~] cos cp + ®R sin ф] Q0 ^ V0. (9)
Комбинируя (8) и (9), получим выражение для амплитуды заряда
Изменение амплитуды и фазы с частотой показано на рис. 2. Заметим, что при очень низких частотах фазовый угол ф равен нулю, как и для #С-цепочки. На высоких частотах заряд Q отстает от приложенного напряжения на л. На частоте, при которой фазовый угол ф отстает от приложенного напряжения на л/2, амплитудная характеристика проходит через максимум. Частота, для которой знаменатель (8) обращается в нуль, равна
У LC Рис- 2-
Ю
О О
-її
— ' "' 1 J 1 I " -1
0,5 і 1 В .і . 5 і 1
І о) ^—_ч
На этой частоте ф=—л/2 и амплитуда заряда определяется формулой
Напряжение на емкости равно
С
V —Qi— Vq — і/
(12)
(13)
Интересно определить частоты, для которых фазовый угол ф равен —л/4 и —Зл/4, а tgч=±:\. Они определяются из уравнения
(14)
Деля обе части на L и комбинируя (11) и (14), получим
«о , 2
со--- = zt —.
0) т *
(15)
где т=2?//?— время затухания, рассмотренное в Р. 1.6. Если затухание не очень велико, о будет близко к со0 и мы можем написать приближенное равенство
со
СОо
. а = со„—Дсо.
ы0 + Дсо - 0
(16)
73
Уравнения (15) и (16) дают
— т
(17)
Изменение величины софо, которая пропорциональна току, можно представить в полярных координатах, как показано на рис. 3. Величины (офо и ср связаны таким образом, что мы получим окружность. С увеличением частоты вектор поворачивается в отрицательном направлении. При резо-—.— нансе отставание по фазе равно ^о)=0 —я/2 и амплитуда максимальна.
Для ф, равного я/4, с обеих сторон
СО~со
<о0Н/Г
Рис. 4.
от резонанса амплитуда в 1/К2 меньше максимального значения. Так как активные потери равны РЯ% потери в схеме на этих частотах равны половине максимального значения. Поэтому эти частоты называются частотами половинной мощности.
Для изучения резонанса собирается схема, показанная на рис. 4. Измерьте частотную зависимость амплитуды и фазы заряда @. Используйте для определения фазы модуляцию интенсивности электронного пучка. Постройте график уфо, как это сделано на рис. 3, и отметьте несколько частот у=со/2я на кривой. Сравните наблюдаемую резонансную частоту с вычисленной:
1 1 (18)
V =
2я У~ЬС
Сравните полное расстояние между точками половинной мощности с вычисленным значением:
1 1 я
2А? = — = тг--^ этт 2л Ь
Заметьте, что отношение
% = ^0 _ = (Я 2До> 2Дv /? и'
(19)
(20)
т. е. равно добротности, рассмотренной в Р. 1.6. Не забудьте включить в сопротивление # внутреннее сопротивление генератора синусоидальных колебаний.
Вы можете попытаться использовать другие величины Ь и С и ввести дополнительное сопротивление. При малых емкостях
74
вы должны учитывать шунтирующую емкость осциллографа. Попробуйте также произвести измерения фазы с помощью фигур Лиссажу.
Приложение 1.8. Комплексная функция возбуждения
В П. 1.6 мы рассматривали реальную и мнимую части решения уравнения движения, для того чтобы найти зависимость частоты со0 и скорости релаксации 1/т от параметров схемы. Для случая свободной релаксации мы ввели комплексную частоту со—со0+17т. Мы можем с успехом использовать этот метод для рассмотрения установившегося режима при действии вынуждающей силы, изменяющейся по синусоидальному закону. Для системы, уравнение которой имеет вид
1<%+№+%**У9<жЫ, (21)
решение для заряда будет следующим:
(^(ЗоСозМ+ф), (22)
где ф0 и ср зависят от V», со и параметров схемы.
Если вынуждающий сигнал сдвинут на 90°, уравнение (21) примет вид
1^ + /Я + § = Увз1пю*.- (23)
В этом случае решением будет
(За=(Зозт (соМ-ф). (24)
Теперь, если приложенное напряжение имеет вид
^(О^ЛУоСОв соН-В^овт со/, (25)
можно ожидать, что величина заряда выразится формулой
<&Ъ=А(11+В<22. (26)
Полагая
А = 1, В=1У (27)
