Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
Lii+IR+?=°- <47>
& А. Портис 65
О)
Заряд может быть определен интегрированием выражения (46) для тока
?=Ае'<5'+ч», (48)
что может быть проверено дифференцированием, если вспомнить, что 1=й(1/сИ. Подставляя (46) в уравнение движения, получим
1<оЛ/0е' <5<+ч» + 1Яё(Л+Ф) -1—Ь- е1 <й'+ч» = 0. (49)
Поделив на ток обе части уравнения, получим простое выражение
(<о1,+-^—ЬЯ = 0, или й^С—;ы#С— 1 =0. (50) шС
Решая квадратное уравнение относительно оз, получим
^^6>+т==тк*]/1"те/4/'+^- (51)
Если /?аС/4Ь^1, мы можем написать
Тв5Г- (52)
Но когда затухание настолько велико, что ЯаС/4/,^1, то частота о» — чисто мнимая и единственно возможное решение будет ш = 0,
{«|(1-/1=4Щ. (53)
Таким образом, в случае большого затухания со=0 и абсолютно никаких колебаний не возникает. Специальный случай #*С/4?,= 1, или #С=4?//?, назван критическим затуханием. Из нашего анализа следует, что критическое затухание характеризуется чистым экспоненциальным спадом с характеристическим временем т=|/^С, которое равно 1/2зт периодов колебаний недемпфированной системы.
Следует подчеркнуть, что такого рода подход возможен только для линейных систем. Если система нелинейна, то решения для 1Х и /2 будут смешиваться, и поэтому выбор В—/ может привести к неправильным результатам.
Работа К7. ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
В Р. 1.5 и Р. 1.6 мы рассмотрели переходные характеристики осциллятора и системы, в которой колебания не могут возникнуть из-за большого затухания. Мы видели, что характеристики этих двух систем различны. В этой и следующей работах мы рассмотрим
66
другой способ изучения характеристик систем. Рассмотрим систему, на которую действует сила или напряжение, меняющиеся по синусоидальному закону
F=F0cos at или V=V0cos <at. (1)
Мы увидим, что реакцией линейной системы на возмущение вида (1) является синусоида
Ar=Ar0cos(W-f <р) или Q=QoCos(coH-4>), (2)
где амплитуда и фаза зависят от частоты. Это происходит потому, что производные от синусоидальных функций — синусоидальные функции. (Экспонента также обладает этим свойством — почему мы не рассматриваем возмущающую силу, меняющуюся по экспоненте?)
Мы будем рассматривать эту проблему только для ее электрической аналогии. Полученные результаты всегда можно перенести на механическую систему, используя замену переменных: Рис. j.
(V, F) (Q, х) (/, v) (g, a) (L, М) (1/С, k) {R, у). (3)
Рассмотрим схему, показанную на рис. 1. Последовательно соединенные емкость С и сопротивление R подключены к источнику синусоидального напряжения. Уравнение для этой схемы может быть записано в виде
/K + -§-=V0cosa>r. (4)
Для того чтобы получить выражение для заряда (и его производной •— тока), запишем решение в виде (2) и подставим его в (4). Дифференцируя уравнение (2) по времени, получим выражение для тока
/=§=-fi>Q.eta(etf + ip). (5)
Подставляя его в уравнение (4), получим
—(uQ6R sin (arf + ср) + cos {at + ф) = V0 cos tof. (6)
Мы хотим определить амплитуду заряда Q0 и фазовый сдвиг ф, показанные на рис. 2. Проще всего это сделать, применив к левой части (6) тригонометрические преобразования
sin (A -ffi)=sin A cos 5+cos A sin В, (7)
cos (Л+Б)=со5 A cos В—sin A sin В. (8)
з* 67
Преобразовывая левую часть уравнения (6) и группируя члены, получаем
^—aR cos ф—sin ф^ QQ sin at +
-f - ^—aR sin ф + ~ cos ф^) Q0 cos at = VQ cos at. (9)
Так как уравнение (9) справедливо для любых моментов времени, мы можем определить коэффициенты, подставив частные значения at.
Подставив at=0, мы получим
^—и/? sin Ф + -^ coscpj Q0 = V0.
(10)
Подставляя at=n/2, имеем ^—а>#со8ф-~~8тф^ Qo = 0. (11)
Из уравнения (11) следует, что выражение в круглых скобках тождественно равняется нулю. Отсюда получаем выражение для фазового сдвига
tg ф=_(о RC. (12)
Заметим, что когда частота приложенного сигнала сравнима с 1/RC, изменение заряда происходит в фазе с изменением напряжения.
Но для больших частот изме-
Рис. 2.
W О
-№
-я/2 9
| 1 (ill!
0,2 I . .[,.., 1 1
~Jtf / 2 S JO
- (oRC
Рис. 3.
нение заряда отстает по фазе
(0=Оо
(.0=0
от изменения напряжения примерно на 90е. Мы можем найти амплитуду колебаний заряда, подставив (12) в (10):
Со^СКоСОБф, (13)
где фазовый сдвиг ф определяется уравнением (12). Для очень низких частот результат будет такой же, как если бы мы имели дело с постоянным током. Для частот, значительно больших URC, амплитуда заряда уменьшается. На рис. 3 показана частотная зависимость амплитуды заряда $ и фазового сдвига ф. Простые соотношения (12) и (13) между зарядом и фазовым сдвигом позволяют построить совместный график этих двух величин. На рис. 4
68
эта зависимость заряда @ дана в полярных координатах. Длина радиуса-вектора равна ф>, а фазовый угол равен ср. 1Ча:тота со является параметром кривой. С ростом частоты движение радиуса-вектора происходит в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Рассматривая выражение для тока, можно получить высокочастотный предел для уравнений (12) и (13). Дифференцируя уравнение (2) по времени, получаем
